Etudier une fonction comportant la fonction Ln

Bonjour, pouvez-vous m'aider à faire la suite de cet exercice s'il vous plait ?

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0;+∞[ par f(x)= x + Ln x
On nomme T sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;j) du plan.

1)a) déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.
J'ai trouvé lim f(x) quand x-> 0 = -∞ et lim f(x)= +∞ quand x->+∞

B) montrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0;+∞[. Pour cette question, j'ai fait étudié le signe de f'(x) qui s'avère etre positif et j'en ai donc déduis que f(x) est strictement croissante, le tout dans un tableau.

2a) montrer que, pour tout entier naturel n, l'equation f(x)=n admet une unique solution dans ]0;+∞[. on note "alpha" $_n$ cette solution.
On a donc: pour tout entier naturel n, $alpha_n$ + Ln $alpha_n$ =n

B) préciser la valeur de $alpha_1$

C) démontrer que la suite $alpha_n$ est strictement croissante

3)a) déterminer une équation de la tangente a la courbe au point A d'abscisse 1. Ici je trouve y= 2x+ 1

B) étudier les variations de la fonction h définie sur ]0;+∞[ par : h(x)= Lnx -x+1. je trouve que h(x) est croissante de 0à 1 puis décroissante de 1 à + ∞ à l'aide d'un tableau de signe.
En déduire la position de courbe par rapport à la tangente. Ici, je pensais à calculer la différence h(x)-(2x-1); si le résultat est positif la courbe est au dessus de la tangente et inversement si le résultat est négatif.

C) démontrer que pour tout entier naturel n non nul, (n+1)/2 ≤ $alpha_n$

déterminer la limite de la suite $alpha_n$

Merci, cordialement

Bonjour Mestena,

Le début est juste.
Pour la question 2 a) Utilise le théorème des valeurs intermédiaires.

Vérifie le calcul pour l'équation de la tangente.

Merci pour votre réponse. Dans mon cours, le théorème des valeurs intermédiaires m'indique une définition qui s'applique avec f(x)=0. Comment je fais étant donné que n n'est pas égale à 0?

Indique le théorème.

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, soit a et b deux nombres appartenant à I. Si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors il existe au moins un nombre réel C dans I, vérifiant f(C)=0

Tu n'as pas dans ton cours :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Soit a et b deux réels dans I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) il existe au moins un réel c entre a et b tel que f(c)=k.
Ou le corollaire :
Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I. Soit a et b deux réels dans I.
Alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) il existe un seul réel c entre a et b tel que f(c)=k.

Si je l'ai, on l'a appelé théorème de bijection. Mais je ne vois toujours pas comment m'y prendre pour trouver la valeur de n, et pas seulement que n existe ..

Il est demandé alpha1
donc si n = 1 , .....
puis pour n = 2,

Je comprends pas ...

la question 2 b) est préciser la valeur de alpha1.

Si n=1, f(x)=1

oui,
et si n = 2 ? alpha n > ...
...

Alpha n > f(x) ?

alpha n > n

Ah oui.. Je suis un peu perdue, tout cela ne répond pas à la question 2a)?

La question 2 a) correspond au théorème.

D'accord mais je ne vois pas quel "calcul" je dois faire pour répondre à la question

Tu as démontré que la fonction est croissante, donc tu écris le théorème, c'est suffisant.

D'accord. Et pour la question 2c) je dis juste que alpha n > n ?

Pour démontrer que la suite est croissante, montre que alpha n+1 > alpha n.

Si n=1, alpha 1= 1
si n=2, alpha2 > alpha 1 avec alpha 2= 2,6
si n=3, alpha 3> alpha 2 avec alpha 3=4
si n=4, alpha 4> alpha 3 avec alpha 4= 5,3
donc alpha1+ Ln alpha1=n ; alpha 2+ ln alpha 2=n; etc.
Cest suffisant ?

Ce n'est pas suffisant, fait une démonstration par récurrence.

C'est la suite alpa n+ Ln alpha n = n que je dois démontrer ou uniquement que alpha n+1> alpha 1?

C'est la suite alpha n.

Initialisation : je démontre que l'égalité alpha n+1 > alpha n avec le premier entier naturel 1. Alpha 1=1 ; alpha n+1=2,6 donc alpha n+1>alpha n
Hérédité : on suppose que l'egalite est vraie pour un entier naturel fixé p. Je démontre que l'egalite est vraie pour p+1 : alpha n+1=alpha 2=2,6 ; alpha 3=4 ; alpha 4= 5,3 ; alpha 5=6 ; etc.
Conclusion : la propriété est vraie pour tout entier naturel n

Pourquoi alpha n+1 = 2,6 ?

Il faut vérifier la relation pour alpha p+1 en utilisant la relation avec alpha p.

Parce que je trouve avec ma calculatrice que f(2)=2,6 environ sinon je sais pas comment faire puisque la suite est définie juste avec alpha n ...

alpha2 vérifie alpha2 + lnalpha2 = 2

Vu que la fonction f est croissante
alors ....

Pourquoi lorsque je le fais, les résultats ne correspondent pas ? Par exemple pour alpha 2 + ln alpha 2 c'est égale à 2,6931+0,99 donc ce n'est pas égale à 2 comme ca devrait l'etre ...

Alors alpha 3 + Ln alpha 3= 3 et ainsi de suite ?

Attention $alpha_n$ n'est pas égal à n.
sauf pour n = 1 ou $alpha_1$ = 1

$alpha_2$ vérifie
$alpha_2$ + Ln $alpha_2$ = 2
et $alpha_2$ < 2 car ln $alpha_2$ >0

la fonction f est croissante, les fonctions lnx et x sont croissantes,
la suite $alpha_n$ est .....

Donc la suite alpha n est croissante ?
Est-ce que alpha 2 = f(2)?

$alpha_2$ n'est pas égal à f(2)
La suite $alpha_n$ est croissante.

Comment je fais pour trouver les valeur des différents alpha n alors ? Car jusqu'à présent je pensais que ça correspondait à f(n)...

La valeur des $alpha_n$ n'est pas demandée.

Ah d'accord .. Merci
Pour l'equation de la tangente, j'ai prit la formule : y= f'(1)(x-1)+f(1)
y= (1+1/1)(x-1)+ 1+ln1
Y= 2(x-1)+1+0
y=2x-2+1
Y= 2x-1

L'équation de la tangente est juste.

Pour la 3b), est-ce que ma réponse est bonne ? (je l'ai posté avec l'enoncé)

Pour la question 3 b) applique le raisonnement que tu as écrit.

D'accord, pouvez-vous me donner une piste pour la question question suivante s'il vous plait ?

Pour la position de la courbe, tu étudies le signe de h(x).
Tu déduis que f(x) ≤ 2x - 1,
soit n ≤ 2 $alpha_n$ - 1
D'ou
...