Dresser le tableau de variation d'une fonction logarithme et donner l'équation de sa tangente

Bonsoir, j'ai cet exercice à faire pour mercredi et je comprends pas trop à partir de la question 3).
F est la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)= $lnx/x^2$ et C sa courbe représentative.

étudiez les variations de f et dressez son tableau de variations
2)a) on note A le point de C d'abscisse 1. Trouvez une équation de la tangente T à C en A.
M est un point de C d'abscisse u.
A) démontrez que la tangente Tu a la courbe C en M est parallèle à la droite d'equation y=x si et seulement si $u^3$ -1+2 Lnu=0
en résolvant l'equation, démontrez que A est le seul point de C en lequel la tangente est parallèle à la droite y=x

Merci

Bonsoir Mestena,

Ecris l'équation de la tangente au point d'abscisse u.

Merci pour votre réponse.
L'équation de la tangente est y=f'(u)(x-u)+f(u)
avec f'(x)= $x-Lnx2x)/x^4$
Donc $y=<a href="x-u">(u-Ln2u)/u^4$ +(Lnu)/x²

Bonjour,

En attendant que Noemi soit là :

Tu peux simplifier f'(x) par x :

$f′(x)=1−2lnxx3f'(x)=\frac{1-2lnx}{x^3}$

Pour l'équation de la tangente (T) , tu as fait je pense une faute de frappe en mettant x au lieu de u , vu que f(u)=lnu / u²

Avec la simplification que je t'ai proposée , l'équation de la tangente (T) est :

$y=1−2lnuu3(x−u)+lnuu2y=\frac{1-2lnu}{u^3}(x-u)+\frac{lnu}{u^2}$ Tu peux développer et simplifier

Le coefficient directeur de la tangente est $1−2lnuu3\frac{1-2lnu}{u^3}$

Le coefficient directeur de la droite d'équation y=x est 1

Deux droites sont parallèles si elles ont même coefficient directeur , donc , tu peux écrire l'égalité

$1−2lnuu3=............\frac{1-2lnu}{u^3}=............$

Bonjour, merci pour votre réponse.
Pour la simplification de la tangente je trouve $y = (x - 2 L n u x + 3 L n u$ ^2 $u^3$

Donc $1-2Lnu/u^3$ = 1 ; u=1 et $u^3$ -1+2Lnu=0

Pour la question 4, si u=1 l'equation est résolue.
La tangente à C en A est x-1. Le coefficient dirrecteur est 1, et celui de la tangente y=x est 1 aussi. Par conséquent les deux droites sont parallèles. Par contre, je ne sais pas comment faire pour démontre qu'il en existe une seule...

Pour la simplification de l'équation , vu qu'il s'agit d'une droite , ça serait bien de la mettre sous la forme y=ax+b

$y=1−2lnuu3x−(1−2lnu)uu3+lnuu2y=\frac{1-2lnu}{u^3}x-\frac{(1-2lnu)u}{u^3}+\frac{lnu}{u^2}$

$y=1−2lnuu3x−(1−2lnu)u2+lnuu2y=\frac{1-2lnu}{u^3}x-\frac{(1-2lnu)}{u^2}+\frac{lnu}{u^2}$

Au final

$y=1−2lnuu3x+(−1+3lnu)u2y=\frac{1-2lnu}{u^3}x+\frac{(-1+3lnu)}{u^2}$

Pour la suite , u ne vaut pas forcément 1

$1−2lnuu3=1⟷1−2lnu=u3⟷...........\frac{1-2lnu}{u^3}=1 \longleftrightarrow 1-2lnu=u^3 \longleftrightarrow ...........$

( comme le quotient vaut 1 , tu peux dire que le numérateur et égal au dénominateur ou bien , tu fais les produits en croix sachant que 1=1/1 )

Pour la question 4) , regarde si , dans les questions précédentes , il n'y aurait pas une fonction "interessante" déjà étudiée.

Sinon , tu peux utiliser $g(x)=x^3-1+2lnx$

Tu peux calculer la dérivée . g est strictement croissante de ]0,+∞[ vers ]-∞,+∞[ .

En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires ( cas de la bijection ) , tu obtiens l'unicité de la solution 1 pour g(x)=0

D'accord merci.
Ou u = -1?

lnu n'existe que pout u > 0

Merci