Dresser le tableau de variation d'une fonction logarithme et donner l'équation de sa tangente


  • M

    Bonsoir, j'ai cet exercice à faire pour mercredi et je comprends pas trop à partir de la question 3).
    F est la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)= lnx/x2lnx/x^2lnx/x2 et C sa courbe représentative.

    1. étudiez les variations de f et dressez son tableau de variations
      2)a) on note A le point de C d'abscisse 1. Trouvez une équation de la tangente T à C en A.
    2. M est un point de C d'abscisse u.
      A) démontrez que la tangente Tu a la courbe C en M est parallèle à la droite d'equation y=x si et seulement si u3u^3u3-1+2 Lnu=0
    3. en résolvant l'equation, démontrez que A est le seul point de C en lequel la tangente est parallèle à la droite y=x

    Merci


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir Mestena,

    Ecris l'équation de la tangente au point d'abscisse u.


  • M

    Merci pour votre réponse.
    L'équation de la tangente est y=f'(u)(x-u)+f(u)
    avec f'(x)= (x−Lnx2x)/x4(x-Lnx2x)/x^4(xLnx2x)/x4
    Donc y=<ahref="x−u">(u−Ln2u)/u4y=<a href="x-u">(u-Ln2u)/u^4y=<ahref="xu">(uLn2u)/u4+(Lnu)/x²


  • mtschoon

    Bonjour,

    En attendant que Noemi soit là :

    Tu peux simplifier f'(x) par x :

    f′(x)=1−2lnxx3f'(x)=\frac{1-2lnx}{x^3}f(x)=x312lnx

    Pour l'équation de la tangente (T) , tu as fait je pense une faute de frappe en mettant x au lieu de u , vu que f(u)=lnu / u²

    Avec la simplification que je t'ai proposée , l'équation de la tangente (T) est :

    y=1−2lnuu3(x−u)+lnuu2y=\frac{1-2lnu}{u^3}(x-u)+\frac{lnu}{u^2}y=u312lnu(xu)+u2lnu Tu peux développer et simplifier

    Le coefficient directeur de la tangente est 1−2lnuu3\frac{1-2lnu}{u^3}u312lnu

    Le coefficient directeur de la droite d'équation y=x est 1

    Deux droites sont parallèles si elles ont même coefficient directeur , donc , tu peux écrire l'égalité

    1−2lnuu3=............\frac{1-2lnu}{u^3}=............u312lnu=............


  • M

    Bonjour, merci pour votre réponse.
    Pour la simplification de la tangente je trouve y=(x−2Lnux+3Lnuy=(x-2Lnux+3Lnuy=(x2Lnux+3Lnu^2)/u3)/u^3)/u3

    Donc 1−2Lnu/u31-2Lnu/u^312Lnu/u3 = 1 ; u=1 et u3u^3u3-1+2Lnu=0


  • M

    Pour la question 4, si u=1 l'equation est résolue.
    La tangente à C en A est x-1. Le coefficient dirrecteur est 1, et celui de la tangente y=x est 1 aussi. Par conséquent les deux droites sont parallèles. Par contre, je ne sais pas comment faire pour démontre qu'il en existe une seule...


  • mtschoon

    Pour la simplification de l'équation , vu qu'il s'agit d'une droite , ça serait bien de la mettre sous la forme y=ax+b

    y=1−2lnuu3x−(1−2lnu)uu3+lnuu2y=\frac{1-2lnu}{u^3}x-\frac{(1-2lnu)u}{u^3}+\frac{lnu}{u^2}y=u312lnuxu3(12lnu)u+u2lnu

    y=1−2lnuu3x−(1−2lnu)u2+lnuu2y=\frac{1-2lnu}{u^3}x-\frac{(1-2lnu)}{u^2}+\frac{lnu}{u^2}y=u312lnuxu2(12lnu)+u2lnu

    Au final

    y=1−2lnuu3x+(−1+3lnu)u2y=\frac{1-2lnu}{u^3}x+\frac{(-1+3lnu)}{u^2}y=u312lnux+u2(1+3lnu)

    Pour la suite , u ne vaut pas forcément 1

    1−2lnuu3=1⟷1−2lnu=u3⟷...........\frac{1-2lnu}{u^3}=1 \longleftrightarrow 1-2lnu=u^3 \longleftrightarrow ...........u312lnu=112lnu=u3...........

    ( comme le quotient vaut 1 , tu peux dire que le numérateur et égal au dénominateur ou bien , tu fais les produits en croix sachant que 1=1/1 )


  • mtschoon

    Pour la question 4) , regarde si , dans les questions précédentes , il n'y aurait pas une fonction "interessante" déjà étudiée.

    Sinon , tu peux utiliser g(x)=x3−1+2lnxg(x)=x^3-1+2lnxg(x)=x31+2lnx

    Tu peux calculer la dérivée . g est strictement croissante de ]0,+∞[ vers ]-∞,+∞[ .

    En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires ( cas de la bijection ) , tu obtiens l'unicité de la solution 1 pour g(x)=0


  • M

    D'accord merci.
    Ou u = -1?


  • mtschoon

    lnu n'existe que pout u > 0


  • M

    Merci


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