Résoudre un problème à l'aide des suite numérique et démonstration par récurrence

Bonjour à tous,

Voilà j'ai un exercice qui porte sur les suites mais je bloque sur la question 1)b) ... Bien sur j'ai essayé de continuer en passant à la question suivante mais je crois que je fais une erreur quelque part car je ne trouve pas le bon résultat.. Pourriez vous m'aider s'il vous plaît ..?

Voici mon sujet :

**On considère la suite $(u$ n $) < / e m > n \in N d \overset{e}{ˊ} f i n i e p a r u 0 = 5 e t, p o u r t o u t e n t i e r n \geq 1 :$
$u$ n $1+(2/n))u</em>{n-1}$ +6/n

a) Calculer $u_1$ .

b) On sait que :
$u_2$ =45
$u_3$ =77
$u_4$ =117
$u_5$ =165
$u_6$ =221
$u_7$ =285
$u_8$ =357
$u_9$ =437
$u_{10}$ =525
$u_{11}$ =621
A partir de ces données, conjecturer la nature de la suite $(d$ n $em>{n∈N}$ définie par $d$ n $= u$ {n+1} $u_n$ .

On considère la suite arithmétique $(v$ n $em>{n∈N}$ de raison 8 et de premier terme $v_0$ =16.
Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n²+12n.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : $u_n$ =4n²+12n+5.
Valider la conjecture émise à la question 1)b).**

En ce qui concerne mes recherches et réponses (fausses du coup..) ça me donne ça :

1)a) $u_1$ =21

1)b) Pour déterminer la nature de $d_n$ ) , faut-il que je démontre que $d$ _{n+1} $d_n$ est une constante ?

Pour cette question, étant donné que $v_n$ ) est arithmétique, et que l'on cherche le résultat de la somme des termes, il faut bien appliquer la formule : S=(nombre de termes)(premier terme+dernier terme)/2 ?
Et si c'est le cas, est-ce que lors de l'application aux éléments donnés on obtient : $(n + 1) < / e m > (v$ _0 $v_n$ )/2 ?

En faisant ce calcul, je ne retrouve pas le "4n²+12n" recherché.. Je trouve "4n²+16n+8" ... Voulez vous le détail de mon calcul ?

Pour la récurrence, je prend :
$P_n$ : ∀n , $u_n$ =4n²+12n+5

En ce qui concerne l'initialisation pas de problème $P_0$ est vraie.

En revanche, pour l'hérédité, il faut bien poser cela :

Supposons que $P_k$ est vraie. $P_{k+1}$ l'est-elle aussi ?
C'est-à-dire, si $u_k$ =4k²+12k+5 , a-t-on $u_{k+1}$ =4(k+1)²+12(k+1)+5 ?

Je ne vois pas comment me servir de $u_k$ pour trouver $u_{k+1}$ ..

Etant donné que je ne trouve pas la 1)b) je ne peux pas prouver cette question..

Merci de pouvoir m'aider, bonne soirée à tous.

Bonsoir,

Calcule d1, d2, d3, ....
Et conjecture sur la nature de la suite.

Ah oui, je n'y avais pas pensé ! Je vais essayer et je vois si je m'en sors.

Merci beaucoup

Je remarque que la suite $d_n$ ) est une suite arithmétique de raison 8 et de premier terme $d_0$ =16

$v_n$ ) est également une suite arithmétique de raison 8 et de premier terme $v_0$ =16 ...

Mais je ne vois pas comment arriver a 4n²+12n, comme expliquer dans mon premier post..

Merci, bonne soirée

Quelle relation connais tu pour la somme des termes d'une suite arithmétique ?

S=nombre de termes*(premier terme+dernier terme)/2

Applique celle relation.

Bonjour,

La formule, est-ce bien (juste avant application numérique) :

$(n + 1) * (v$ _0 $v_n$ )/2 ?

J'ai essayé mais je n'obtiens pas le résultat recherché..

Je devrais trouvé 4n²+12n et je trouve 4n²+20n+16 ...

C'est pour cela que je pense qu'un de mes termes n'est pas le bon..

Merci de votre aide

Utilise la relation :

n*(v0+v1)/2 = ....
Indique tes calculs

Bonjour,

J'ai utilisé la relation que vous m'avez indiqué et je trouve le bon résultat, merci beaucoup !

Maintenant le problème se dresse au niveau de la récurrence..

Je pose $P_n$ : pour tout n, $u_n$ =4n²+12n+5

Pour l'initialisation, aucun souci $P_0$ est vraie.

En revanche pour l'hérédité, j'ai essayé de supposer que $P_k$ est vraie, et donc est-ce que $P_{k+1}$ l'est aussi, mais là c'est un échec..

Alors j'ai essayé de supposer que $P_{k-1}$ est vraie, en est-il de même pour $P_k$ ?
C'est-à-dire, si on a $u_{k-1}$ =4(k-1)²+12(k-1)+5 , a-t-on $u_k$ =4k²+12k+5 ?

Et la je ne vois pas comment me servir de $u_{k-1}$ pour trouver $u_k$ ...

Merci de votre aide, bonne fin de journée.

Utilise la relation de départ.

La relation de départ ?
C'est-à-dire $u$ n $1+(2/n))u</em>{n-1}$ +(6/n) ?

Oui effectivement, je n'y avais pas pensé, et j'ai résolu le problème grâce à vos conseils !

Merci beaucoup de votre aide, bonne journée