Factorisation de produits avec racines carrés en utilisant les identités remarquables

Bonjour j'ai un exercice pour un devoir maison que je n'arrive pas, j'ai réfléchis a des calculs par rapport au règles des racines carré mais je pense qu'il y a quelque chose comme une propriété dont je ne me rappellerai pas ou une technique spécial. Voici mon énoncé:

Sans calculatrice, calculer P:
P= (1+√2+√3+√5)(1-√2+√3+√5)(1+√2-√3+√5)(1+√2+√3-√5)(1-√2-√3+√5)(1-√2+√3-√5)(1+√2-√3-√5)*(1-√2-√3-√5)

Ce sont toujours les mêmes nombres mais jamais les mêmes signes, je pense donc qu'il y a une technique, pourriez-vous m'aider s'il vous plait. Merci d'avance

Bonjour dodo09,

Regroupe les termes 2 par 2 et utilise les identités remarquables
Exemple :
(1+√2+√3+√5)(1+√2-√3-√5) = [(1+√2)²-(√3+√5)²]

Bonjour,
Mais si le signe est différents de chaque coté (+ d'un coté et - de l'autre) commet savoir si il se transforme en + ou en -

Tu cherches deux expressions qui ont deux signes différents.

Désolé mais je ne comprend pas.

Au début je me suis dit que l'on pouvait supprimé certains facteurs car entre eux sont égal a 0 et donc sa aurait simplifier mais je ne pense pas que ce soit ça.

Suis l'exemple indiqué das mon premier post.
Regroupe les termes deux par deux et effectue les calculs.

Oui sa j'ai compris mais pour assembler "1+√2" et "1-√2" comment savoir quel signe mettre sa serait (1+√2)² ou (1-√2)² comment savoir ceci.

Tu choisis deux facteurs tel que les deux premiers termes soient identiques et que les deux derniers termes aient des signes opposés.

Ah ok je pense donc avoir trouvé : [(1+√2)²-(√3+√5)²] [(1-√2)²+(√3-√5)²]
[(1+√2)²+(√3-√5)²] [(1-√2)²-(√3+√5)²]

c'est ça ? si oui que dois-je faire ensuite.

Vérifie tes calculs, chaque facteur doit être sous la forme (a² - b²)
Tu developpes chaque terme et tu simplifies.

ah donc jme suis gourré c'est : [(1+√2)²-(√3+√5)²] [(1-√2)²-(√3-√5)²]
[(1+√2)²-(√3-√5)²] [(1-√2)²-(√3+√5)²]
sa c'est (a²-b²) non ?
et sinon si je continu : [(1+2)-(3+5)] [(1-2)-(3-5)] [(1+2)-(3-5)] [(1-2)-(3+5)]

ensuite je simplifie : [3-3-5][-1-3+5][3-3+5][-1-3-5]
donc : -111(-1)(-9)
donc : -119
donc : -99
donc P = -99
J'ai juste ?

Pardon je me suis trompé
[3-3-5][-1-3+5][3-3+5][-1-3-5]
donc : -515*(-9)
donc : -5*-45
donc : 180
donc P = 180
j'ai juste ?

Mais je crois que je me suis trompé car j'ai voulu vérifié avec la calculatrice et j'ai faux. Pourriez-vous me dire ou est mon erreur.

L'erreur est dans le développement des identités remarquables.
(√3-√5)² = 3 - 2√15 + 5

Désolé mais je ne vois pas mon erreur je n'ai pas compris.

(a-b)² = a² - 2ab + b²
Un carré est toujours positif
(1-√2)² = 1 - 2√2 + 2 = 3 - 2√2

Donc le 1er par exemple : (1+√2)²-(√3+√5)²
sa ferait : 3-238+8
donc : 3-48+8
donc : -37
il est bon le 1er ou je me suis encore trompé ?

C'est faux

(1+√2)²-(√3+√5)²
= 1 + 2√2 + 2 - (3 +2√15 + 5)
= 3 + 2√2 - 8 - 2√15
= -5 +2√2 - 2√15

Ah ok il faut les séparer
J'essais le second alors : (1-√2)²+(√3-√5)²
= 1-2√2+2+(3-2√15+5)
= 3-2√2+8-2√15
= 11-2√2-2√15
Mais ne peut-on pas aller plus loin, on a pas le droit de simplifier 2√2-2√15 ?

Non, il n'est pas possible de simplifier;

Vérifie le signe :
(1-√2)²+(√3-√5)² ou
(1-√2)² - (√3-√5)² ?

Ah oui je me suis trompé c'est -
donc : 1-2√2+2-(3-2√15+5)
3-2√2+15+2√15
18-2√2+2√15
J'ai juste ? et une fois mes 4 facteurs factorisé que dois-je faire ?

Ah beh non c'est + en faite je me suis pas trompé. Sa donne donc a²+2ab+b² non ?

Le 15 est faux, c'est -8.

Donc sa donne : [-5+2√2-2√15][11-2√2-2√15][11+2√2-2√15]*[-5-2√2-2√15]
C'est ça ? que dois-je faire ensuite ?

c'est bon maintenant non ? que dois-je faire ensuite ?

Applique le même raisonnement, regroupe deux parenthèses.

Mais c'est pas possible car aucune de ces 4 ne se corresponde enfin il y 'en a aucune ou ils sont le meme signe au 1er terme et les signes opposés au dernier terme.

La première avec la 4ème et la deuxième avec la troisième.

Désolé mais la je ne vois pas comment faire.

(-5+2√2-2√15) * (-5-2√2-2√15) =
(-5-2√15+2√2) * (-5-2√15-2√2) =
......

On a le droit ça ?
Donc = (-5-2√15)²+(-2√2)² non ? Parce que en faite il n'y a que 3 termes donc avec qui dois-je assembler le 3eme.

(-5-2√15+2√2) * (-5-2√15-2√2) =
(-5-2√15)² - (2√2)² =
...

= (-5²-22√15+(2√15)²)-(2√2)²
= (25-2√15+60)-(2√2)²
= 85-2√15-(2√2)²
= 85-2√15-2²(-√2)²
= 85-2√15-4*2
= 85-2√15-8
= 77-2√15
Ais-je juste ?

Une erreur pour le double produit
c'est + 20√15.

Je ne vois pas mon erreur.

(-5-2√15)² =
(-5)²+2*(-5)*(-2√15)+ (-2√15)² =
.....

BonjourNoemi ,

Bravo pour ta patience !

Si ça peut aider dodo09 ( pas sûr...)

$\text{(-5-2\sqrt{15})^2=(-1(5+2\sqrt{15}))^2=(-1)^2\times (5+2\sqrt{15})^2=(5+2\sqrt{15})^2 , vu que (-1)^2=1$

Désolé mais franchement la je comprend plus rien je suis laché je m'excuse mais les maths c'est pas mon fort et la j'ai du mal (oui merci pour votre patience)