Exprimer le volume d'un cylindre inscrit dans une sphère

Bonjour!
J'ai un exercice qui me pose quelques problèmes, et j'aurais besoin d'aide..!

Voici l'énoncé :
Pour aménager un parc, on dispose de sphères de rayon 6dm. A l'intérieur on veut placer des poubelles de forme cylindrique. On suppose qu'une poubelle a pour hauteur 2h et pour rayon r (en dm). On cherche à déterminer la hauteur du cylindre pour obtenir une poubelle de volume maximal.

a) Exprimer r en fonction de h :
J'ai donc utiliser Pythagore, et j'ai trouvé r² = 36 - h²
b) Démontrer que le volume V du cylindre en dm³ peut s'écrire sous la forme V(h) = 2π (-h³ + 36h)
J'ai ici utilisé la formule de calcul du volume d'un cylindre et j'arrive au bon résultat.
a) Déterminer la hauteur du cylindre pour laquelle le volume de la poubelle est maximal.
J'ai fait la dérivée du volume et je trouve V'(h) = 2π (36-3h²)... Après je suis bloqué!
b) Déterminer la valeur exacte de ce volume en dm³.
c) Donner l'arrondi à l'unité de ce volume.

Bonjour mg,

Etudie les variations de V en fonction de h.
Résous V'(h) = 0.

Désolé, mais je ne saisis pas... Comment obtenir la valeur de 2h et répondre aux questions suivantes en étudiant les variations et en résolvant V'(h)=0..?

L'étude des variations permet de trouver le maximum.

D'accord je vois, merci beaucoup!

J'ai à nouveau un problème...
En effet, j'ai suivi tes conseils et j'ai ainsi calculé la valeur de h pour V'(h)=0. J'ai obtenu h=√12 ou h=-√12. Jusque là tout va bien. J'ai ensuite dressé le tableau de signe de la dérivée et, comme a>0 (a=2π), j'obtiens un tableau où, sur l'intervalle ]-√12 ; √12[, V'(h)<0, et sur ]-l'infini ; -√12[ ainsi que sur ]√12 ; l'infini[, V'(h)>0. Or, V(√12)=522.4, et V(-√12)=-522.4 : le tableau de signe devrait donc être inversé puisque V(h) est croissante sur ]-√12 ; √12[..! Il y a donc un problème mais je ne vois pas où est mon erreur... Un peu d'aide serait à nouveau la bien venue :S

Vérifie ton calcul, c'est sur l'intervalle [0;√12[ que la fonction est croissante.

Je sais bien, c'est justement le problème..! Comme a>0 j'obtiens un tableau de signe de la dérivée qui ne correspond pas aux variations de la fonction :rolling_eyes:

Non en fait c'est bon, je m'en suis sortie sans le tableau de variations, merci quand même