3. Probabilité, incertitude, fonction ln.

Probabilité, incertitude, fonction ln.

  • S

    Bonjour, j'ai un devoir maison de math à faire pour lundi et je ne m'en sort vraiment pas, j'ai du mal pour tous les exercices mais je vais commencer par le premier, on fera les autres après si possible.
    Donc voila mon énoncé:

    Exercice 1:
    Partie I:
    ∅ est la fonction définie sur ]0;1] par ∅(x)= -ln(x)/ln(2).
    Pour un évènement A de probabilité P(A) non nulle, on pose i(A)=∅ (P(A)). En théorie de l'information, ce nombre i(A) est appelé incertitude de l'évènement A.
    Questions :
    1)On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Soit A l'évènement "la carte tirée est la dame de coeur". Que valent P(A) et i(A)?
    2) Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois une pièce équilibrée. A est l'évènement "obtenir n fois pile". Déterminer i(A).
    3)Que vaut i(A) lorsque P(A) vaut 1? Commenter le résultat.
    4)Si A et B sont deux évènements indépendants pur la probabilité P et si P(A∩B)≠0 : Démontrer que i(A∩B)=i(A) + i(B).
    5)Calculer lim ∅(x) quant x tend vers 0. Quelle interprétation peut-on donner de ce résultat en terme d'incertitude?

    Partie II:
    h est la fonction définie sur [0;1] par: h(0)=0, et pour tout x de ]0;1], h(x) = -x ln(x)/ ln(2)
    On admet que h est continue sur [0;1]. On définie également la foncion h1 sur [0;1] par h1(x)=h(x)+h(1-x)
    1)Dresser le tableau de variations de h1.
    2) Soit une pièce de monnaie pas forcément équilibrée, donc la probabilités de faire pile est p∈]0;1[.
    On appelle incertitude moyenne de X la quantitée h1(p).
    a)Donner la valeur de p pour laquelle h1(p) est maximum.
    b) Commenter ce résultat.

    Voila ce que j'ai fait/
    Partie I:

    1. P(A)= 1/32 ; i(A)=∅(P(A))=-ln(P(a))/ln2 = -ln(1/32) / ln2 =5
    2. P(A)=(1/2)nP(A)=(1/2)^nP(A)=(1/2)n ; i(A)= −ln(1/2)n-ln(1/2)^n−ln(1/2)n/ln2
      3)Lorsque P(A)=1 alors i(A) = - ln(1)/ln2=0
      Cela signifie que lors du lancer de la pièce celle-ci tomberas touours sur pile.
      4)Je sais que P(A∩B)= P(A) * P(B) ssi P(A∩B)≠0 mais je ne vois pas comment faire pour i(A)
      5)lim ∅(x) quand x tend vers 0 = lim (-ln x /ln 2 )quand x tend vers 0 = +∞
      Plus x tend vers 0, plus ∅(x) est grand donc plus l'incertitude est grrande.

    Partie II:
    Je n'y arrive absolument pas j'ai essayer de faire la dérivée pour la question 1) mais cela me donnait quelque chose de bizarre. POur la 2) je ne vois pas comment faire est-ce qu'il faut faire une lecture graphique ?

    Merci beaucoup. 😃 j'espère que vous pourrez m'aider.

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonsoir Sabi42,

    1. P(A) = 1 pour la probabilité d'un événement certain, l'incertitude est ....
    2. Calcule Φ((P(A)*P(B))

    II/ Indique tes calculs pour la dérivée.

    S 1 réponse
  • S

    Bonjour,
    Merci d'avoir répondu aussi vite, voila ce que je trouve:

    1. P(A)=1, pour la probabilité d'un évènement certain, l'incertitude est nulle.
    2. J'ai donc mis que:
      i(A∩B)=i(A)*i(B)=Φ(P(A)P(B))
      =-(ln(x)/ln(2))      ((P(A)*P(B))
      =((-ln(x)*P(A))/ln(2))*P(B)
      =(-ln(x)*P(A))/ln(2))+((-ln(x)*P(B))/ln(2)
      =i(A)+i(B)

    II/ Pour ma dérivée je trouve :
    h(x)=(-xln(x))/ln(2) avec u= -xln(x) u'= -1 v= ln(2) et v'=1/2
    Donc h'(x)= ((-1)ln(2)-(-xln(x)(1/2))/(ln(2))²
    =(-ln(2)+((xln(x))/2))/(ln(2))²
    Donc voila je suis bloquée pour truver les variations.
    Merci de votre aide =).

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