spé : PGCD et puissances

[Thierry]

Bonjour,

Connaissez-vous une méthode simple, sans passer par les décompositions en facteurs premiers, pour montrer que $PGCD(a^n$,$b^n$)=[PGCD(a,$b){]}^n$ ?

[mathtous]

Bonjour,
Sans aller jusqu'à la décomposition complète en facteurs premiers, je n'ai pas trouvé d'autre solution (mais il en existe peut-être) que de faire intervenir un diviseur premier.

Je pose d = PGCD(a,b), a=d.a', et b = d.b'.
a' et b' sont donc premiers entre eux.
Et on a : $a^n$ = $d^n$.a'${}^n$ , $b^n$ = $d^n$.b'${}^n$.
Il suffit de montrer que a'${}^n$ et b'${}^n$ sont premier entre eux.

S'il existait un diviseur p premier de a'${}^n$ et b'${}^n$, il diviserait a' et b', ce qui est exclus.
D'où le résultat.

Je crois avoir une autre solution sans nombre premier.
a' et b' sont premiers entre eux, donc il existe u et v tels que a'u + b'v = 1
Donc b'v = 1-a'u
b'$$^n$v^n$ = (1-a'$u{)}^n$ = 1 - k.a' ( en développant)
Donc b'$$^n$v^n$ + k.a' = 1
Donc a' et b'${}^n$ sont premiers entre eux.
On réapplique ce résultat à b'${}^n$ : a'${}^n$ et b'${}^n$ sont premiers entre eux.

[Thierry]

mathtous

S'il existait un diviseur p premier de a'${}^n$ et b'${}^n$, il diviserait a' et b', ce qui est exclus.
C'est la décomposition en facteurs premiers qui te permet de l'affirmer n'est-ce-pas ?

Sinon la seconde démonstration est OK pour moi.

[mathtous]

Citation
C'est la décomposition en facteurs premiers qui te permet de l'affirmer n'est-ce-pas ?Pas tout à fait : seulement le fait que tout entier supérieur à 1 possède au moins un diviseur premier.

La première démonstration est plus "arithmétique", la seconde plus "algébrique". Néanmoins, bien que plus délicate, la seconde (si elle est juste) est préférable car elle fait uniquement intervenir des algorithmes simples (les coefficients de Bachet s'obtiennent par l'algo d'Euclide).

[Thierry]

mathtous
Pas tout à fait : seulement le fait que tout entier supérieur à 1 possède au moins un diviseur premier.Désolé je ne comprends pas. Je ne vois pas pourquoi p diviserait aussi a' et b' ...

[mathtous]

Un nombre p est premier s'il est non nul, non inversible, et si :
p|xy ⇒ p|x ou p|y (peu importent x et y)
Ici : p|a'${}^n$ qui est un produit, donc p divise au moins un des facteurs : ils sont tous égaux à a' : p| a'
De même pour b'.

[Thierry]

OK c'est bien vu.

Non inversible signifie différent de 1 ?

[mathtous]

Dans Z, différent de 1 et de -1.
Dans un anneau (unitaire) quelconque, les inversibles (ou "unités") sont les éléments possédant un inverse. Ainsi, dans Z[i], ce sont 1,-1,i, et -i.

Tu as vu que j'ai une façon un peu cavalière de m'exprimer :
Citation
tout entier supérieur à 1 possède au moins un diviseur premier.J'aurais dû dire : tout entier différent de 1 et -1 possède au moins un diviseur premier.
Mais la démonstration classique se fait dans N, avant de l'étendre à Z comme conséquence immédiate.

[Thierry]

Merci

[mathtous]

A charge de revanche.