Aire maximale d'un rectangle, fonction



  • Bonjour cette exercice me pose problème à partir de la qestion n°3, je n'arrive pas à démontrer..

    Exercice:

    ABC est un triangle rectangle en A. On donne AB = 4 cm et
    AC = 8 cm.
    M est un point du segment [AB] ; les points N et P
    appartiennent respectivement aux segments [BC] et [AC] de
    façon que AMNP soit un rectangle.

    Problèmes : Pour quelle position du point M l'aire du
    rectangle est-elle égale à 6 cm² et pour quelle position du point M l'aire du rectangle est-elle
    maximale ?

    1. Dans cette question on pose AM = 1 cm.
      Faire une figure et calculer l'aire du rectangle AMNP.
      Dans le suite, le point M est un point quelconque du segment [AB]. On pose AM = x.

    2. Quelles sont les valeurs possibles de x ?

    3. Démontrer que MN = 2(4 – x) (utiliser le théorème de Thalès)

    4. Démontrer que l'aire f(x) du rectangle AMNP est donnée par f(x) =8 x – 2 x2

    5. Dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, tracer la courbe représentative de la fonction f.

    6. a. Résoudre graphiquement f(x)=6 .
      b. Déterminer la position du point M pour que l'aire du rectangle AMNP soit maximale.
      Quelle est la valeur de ce maximum ?

    7. a. Montrer f(x)– 6=2(x – 3)(x – 1)
      b. En déduire, par le calcul, les solutions de f(x)=6 .

    8. a. Montrer que f(x)= –2(x –2)²8
      b. Calculer f (2) .
      c. Démontrer que f(x)≤8 . (considérer le signe de (x – 2) puis de – 2(x – 2) et conclure)
      d. Quel résultat vient d'être démontré ?

    9. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; 4]


  • Modérateurs

    Bonjour Meloou,

    La question 3 correspond à Thalès,
    Ecris la propriété et les rapports
    MN/AC = ....



  • Les points B,M,A d'une part et les points A,P,C d'autre part sont alignés dans le même ordre.
    Calculons séparément:
    BM/BA=3/4
    AP/AC=6/8=3/4

    On constate que BM/BA=AP/AC donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (AP) sont parallèles

    Comme sa ?


  • Modérateurs

    C'est un rectangle donc .....

    MN/AC = BM/BA
    ....



  • MN/AC = BM/BA

    D'où 3/4 = 3/4


  • Modérateurs

    Non

    MN est inconnue est AC = 8
    Soit MN/AC = MN/8
    BM/MA = 4-x/4
    soit MN/8 = ......
    Puis
    MN = ....



  • Soit MN = 8-x/8
    Puis
    MN=2(4-x)


  • Modérateurs

    MN = 8(4-x)/4
    MN = 2(4-x)



  • A d'accord merci.

    Pour la question 4, il faut s'aider de la question 3 ?


  • Modérateurs

    Oui,

    Aire du rectangle MN x AM = ....



  • MN x AM = 2(4-x) x 1
    = (8-2x) x 1

    Je trouve pas de carré..


  • Modérateurs

    AM = x !



  • A oui pardon j'étais encore dans AM = 1 cm


 

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