Aire maximale d'un rectangle, fonction

Bonjour cette exercice me pose problème à partir de la qestion n°3, je n'arrive pas à démontrer..

Exercice:

ABC est un triangle rectangle en A. On donne AB = 4 cm et
AC = 8 cm.
M est un point du segment [AB] ; les points N et P
appartiennent respectivement aux segments [BC] et [AC] de
façon que AMNP soit un rectangle.

Problèmes : Pour quelle position du point M l'aire du
rectangle est-elle égale à 6 cm² et pour quelle position du point M l'aire du rectangle est-elle
maximale ?

Dans cette question on pose AM = 1 cm.
Faire une figure et calculer l'aire du rectangle AMNP.
Dans le suite, le point M est un point quelconque du segment [AB]. On pose AM = x.
Quelles sont les valeurs possibles de x ?
Démontrer que MN = 2(4 – x) (utiliser le théorème de Thalès)
Démontrer que l'aire f(x) du rectangle AMNP est donnée par f(x) =8 x – 2 x2
Dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, tracer la courbe représentative de la fonction f.
a. Résoudre graphiquement f(x)=6 .
b. Déterminer la position du point M pour que l'aire du rectangle AMNP soit maximale.
Quelle est la valeur de ce maximum ?
a. Montrer f(x)– 6=2(x – 3)(x – 1)
b. En déduire, par le calcul, les solutions de f(x)=6 .
a. Montrer que f(x)= –2(x –2)²8
b. Calculer f (2) .
c. Démontrer que f(x)≤8 . (considérer le signe de (x – 2) puis de – 2(x – 2) et conclure)
d. Quel résultat vient d'être démontré ?
Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; 4]

Bonjour Meloou,

La question 3 correspond à Thalès,
Ecris la propriété et les rapports
MN/AC = ....

Les points B,M,A d'une part et les points A,P,C d'autre part sont alignés dans le même ordre.
Calculons séparément:
BM/BA=3/4
AP/AC=6/8=3/4

On constate que BM/BA=AP/AC donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (AP) sont parallèles

Comme sa ?

C'est un rectangle donc .....

MN/AC = BM/BA
....

MN/AC = BM/BA

D'où 3/4 = 3/4

Non

MN est inconnue est AC = 8
Soit MN/AC = MN/8
BM/MA = 4-x/4
soit MN/8 = ......
Puis
MN = ....

Soit MN = 8-x/8
Puis
MN=2(4-x)

MN = 8(4-x)/4
MN = 2(4-x)

A d'accord merci.

Pour la question 4, il faut s'aider de la question 3 ?

Oui,

Aire du rectangle MN x AM = ....

MN x AM = 2(4-x) x 1
= (8-2x) x 1

Je trouve pas de carré..

AM = x !

A oui pardon j'étais encore dans AM = 1 cm