Dm vecteurs, géométrie plane

Voici mon enoncé:
Soit ABCD un parallélogramme non aplati.
On note C' le symétrique de C par rapport à D.
Le point K est défini par →AK = -2→AB.
L est le centre de gravité du triangle ACC'.

Faire une figure.
On désire prouver l’alignement des points K, L et C de quatre manières différentes.
(a) Méthode 1 Exprimer dans la base (AB,AD) les vecteurs→AL, →AK et →AC.
En déduire la décomposition de →KC et →KL. Conclure.
(b) Méthode 2 Introduire le milieu J de [AC']. A l’aide de considérations géométriques
simples, montrer l’alignement de J, L et C, puis celui de K, J et C. Conclure.
(c) Méthode 3 Déterminer dans le repère (A;→AB,→AD) une équation de la droite (CK)
et montrer que l’intersection de cette droite avec l’axe des ordonnées est le point L.
(d) Méthode 4 Déterminer dans le repère (A;→AB,→AD) les coordonnées des points K, L
et C, puis des vecteurs →KL et →KC. Conclure.

J'ai construis la figure, et j'ai trouvé pour la methode 1:
→AL=2/3→AD
→AK=-2→AB
→AC=→AB+→AD

Merci pour l'aide que vous me procurerez.

Bonjour,

Pistes,

Je regarde ta méthode 1

C'est bon , mais il faut poursuivre.

Relation de Chasles :

$kc⃗=ka⃗+ac⃗\vec{kc}=\vec{ka}+\vec{ac}$

Avec tes calculs faits , tu dois trouver : $kc⃗=3ab⃗+1ad⃗\vec{kc}=3\vec{ab}+1\vec{ad}$

De même :

$kl⃗=ka⃗+al⃗\vec{kl}=\vec{ka}+\vec{al}$

Avec tes calculs faits , tu dois trouver : $kl⃗=2ab⃗+23ad⃗\vec{kl}=2\vec{ab}+\frac{2}{3}\vec{ad}$

Tu trouves un réel k tel que $kc⃗=kkl⃗\vec{kc}=k\vec{kl}$

Donc vecteurs colinéaires donc ...............

D'accord pour la methode 1 je me debrouillerai merci.
Pour la methode 2 j'avais pensé en justifiant a l'aide du centre de gravité car J, L, C sont alignés car c'est le meme segment mais pour K, J, L je ne sais pas comment justifier

Pour J ,L ,C: (JC) est une médiane du triangle ACC' donc nécessairement L∈(JC)

Pour K , J , C : Justifie que KACC' est un parallélogramme , donc les diagonales se coupent en leur milieu.
Une diagonale est [AC'] de milieu J
L'autre diagonale est [KC] donc .........................

Ok merci. Par contre la methode 3 je n'y arrive pas du tout ...
Et pour la methode 4 je peux trouver les coordonnées des points mais pour les vecteurs je ne sais pas comment les trouver et je ne me rapelle plus de la formule pouvez vous me la redonnez s'il vous plait ?

Pour la 3) , on te demande de trouver l'équation de la droirte (CK)

Tu sais que C a pour coordonnées (1,1) et que K apour coordonnées (-2,0)

Tu as plusieurs façons pour trouver l'équation.

Par exemple , cette droite n'étant pas parallèle à l'axe des abscisses , son équation réduite est de la forme y=ax+b

Tu remplaces x et y par les coordonnées de C
Tu remplaces x et y par les coordonnées de K

Tu obtiens un système d'inconnues a et b à résoudre

Je ne comprend pas le systeme qu'il faut faire .. pouvez vous me montrez la premiere ligne pour voir a quoi sa ressemble s'il vous plait je ferai le reste moi meme. Merci

Pour le point C , tu remplaces x par 1 et y par 1 : 1=a+b

D'accord mais pour trouver aprés quel va etre a et b je ne vois pas ... j'ai du mal a comprendre la demarche ensuite qu'il faut faire ...

Donne la seconde équation

Pour le point K sa donne Y = ax + b donc 0= -2a + b
Mais aprés je ne comprend pas se qu'on dois faire avec sa ..

Tu peux résoudre par substitution , par exemple

Ta seconde équation peut s'écrier b=2a

Dans la première équation , tu remplaces b par 2a est tu trouveras a

Lorque tu auras a , avec une des deux équations , tu auras b.

Donc par exemple pour le point C sa donne 1 = a + 2a qui donne donc a = 1/3 ?

oui .

Il te reste à trouver b .

Se qui donne 2/3
Donc l'equation pour le point C : 1 = 1/3 + 2/3 ?
et pour le point K c'est b=2a donc 2/3= 2a , a= 6/2? , l'equation est donc 0= -2x6/2 + 2/3 ?

Ah non ! les equations sont 1/3x + 2/3 pour C et 6/2x + 2/3 pour K ?

L'équation de (CK) est $y=13x+23y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$

Ah oui je vois ou je me suis trompé merci !

Pour la metode 4 est-ce que vous pourriez juste me redonner la formule pour calculer les coordonnées d'un vecteurs je ne m'en souvins plus et puis sa ira merci beaucoup pour votre aide

$ab⃗\vec{ab}$

coordonnées : $x_b-x_a,y_b-y_a)$

Merci beaucoup grace a votre aide j'ai compris l'exercice et vu où été mes erreurs.

Bon DM !