Etudier une fonction, sa dérivée, ses tangentes et tracer sa courbe

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cette exercice je n'y arrive pas
Merci d'avance
On fixe un repére (O;i;j) orthonormé tel que R1 et R2 soient respectivement supportés par les droites déquation y=0 et y=1 On pose A(3;1) On cherche la forme de ce rail avec une fonction définie par morceaux de la forme k: x : k(x) = 0, si x<0 k(x) = p(x) si 0< ou egal a x< 3 k(x) = 1 si x > 3
Avec p(x) = ax au cube + bx² + cx + d ou a, b, c et d sont des réele a determiner

Question

determiner a, b, c et d sachant que Ck passe par l'origine qu'il y a une tangante horizontale en 0 que Ck passe par A et qu'il y a une tangante horizontale en ce point
2)Tracer Ck dans un repere d'unité 5cm

On s'intéresse maintenant au rail dedoublés , l'ecartement des rail est dans le repere (O,i,j)
e=0.4
Soit f: x : f(x) = -e si x< 0 f(x) = p(x) -e si 0
3

3)Dans le repere representé cF
4)Montrer que pour tout de [0;3] les tangantes a Cf et a Ck sont parallele et determiner l'equation de la tangante t2 a Ck en x=2

Bonjour,

Pistes pour démarrer ,

Tu mets l'énoncé en équations.

Pour trouver a,b,c, tu résous le système :

$\left{p(0)=0\p'(0)=0\p(3)=1\p'(3)=0\right$

la 1°
p(0)= a0+b0+c0+d=0 donc d=0
la 2°
p'(0)= 3a0+2b*0+c=0 donc c=0
la 3°
p(3)= 27a+9b+3c+d=1
la 4°
p'(3)= 27a+6b+c=0
finalement il te reste
d=0
c=0
27a+9b=1
27a+6b=0
donc aprés j'ai resolu le systeme et je trouve -2/27 et 1/3

? c'est correct vous pouuvé m'aider pour la suite svp ?

Oui pour a=-2/27 et b=1/3

Pour 2) je suppose que tu as fait le graphique de Ck
Pour 3) je suppose qu'il s'agit du graphique de Cf

Idée pour la 4)
Deux droites parallèles ont même coefficient directeur.

Le coefficient directeur d'un tangente est le nombre dérivé.
Donc , pour une valeur de x donnée , compare les nombres dérivés de k et de f ( et tu dois trouver qu'ils sont égaux )

je peut justifier en disant : comme e=0,4 c'est une constante donc sa ne change rien quand on fait la dérivé se qui veut dire que les dérivé sont egaux et donc les droite sont parralele ? c'est correct ?

explicite un peu plus , mais ton idée est bonne

ok merci et pour determiner l'equation de la tangante T2 a Ck en x=2 , comment je fais ?

Tu appliques ton cours ( tu dois avoir une "formule prête à l'emploi " )

Vu que x=2 , tu utilises p(x) avec les coefficients que tu as trouvé à la 1) :

y=p'(2)(x-2) +p(2)

tu remplaces p(2) et p'(2) par leurs valeurs , puis tu réduis au mieux.

merci , je trouve y= 4/9x - 4/27
C'est correct ?
et apres je doit etudier les variation sur [ 0, 3] de la fonction x = -2x^3 +9x²-12x +4 et en deduire le signe (question 4) donc ça je l'ai fais
Mais aprés je doit déduire de la question 4 les positions relatives de T2 et Ck sur [1;3] ? je ne sais pas comment faire ?

C'est bon pour la tangente.

Pour la position de T2 et Ck pour x∈[1,3] :

étudie le signe de la différence p(x)-(4/9x - 4/27)

je dois faire le calcul p(x)-(4/9x-4/27) et aprés j'etudie le signe ?

je n'arrive pas a le faire ?

$p(x)−(49x−427)=−227x3+13x2−49x+427p(x)-(\frac{4}{9}x-\frac{4}{27})=-\frac{2}{27}x^3+\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{9}x+\frac{4}{27}$

Donc : $p(x)−(49x−427)=−2x3+9x2−12x+427p(x)-(\frac{4}{9}x-\frac{4}{27})=\frac{-2x^3+9x^2-12x+4}{27}$

Utilise la question précedente dans laquelle tu as étudié les variations de la fonction $x-> -2x^3+9x^2-12x+4$

cette fontion x est decroissante de [0;1] et [2;3] et croissante sur [1;2]
c'est ce que j'ai trouver ?

Avec le tableau de variation , déduis le signe.

donc sa fait - de [0;1] et [2;3] et + de [1;2]

Je ne pense pas.

Fais les choses soigneusement avec les variations :

Pour x < 0.5 , la fonction prend des valeurs positives
Pour x ≥ 0.5 , la fonction prend des valeurs négatives ( nulles pour x=0.5 et pour x=2 )

donc pour la question 5) je doit etudier les variation sur [0;3] de la fonction -2x^3 +9x²-12x +4 et en deduire le signe de cette expression sur [1;3]

Moi j'ai fais avec le polynome du second degrés , C'est pas ça ?

Le polynome du second degré dont tu parles est la dérivée.

Il faut que tu trouver le signe du polynome , non de sa dérivée.

Tu déduis ce signe du tableau de variation de g ( fait à la question précédente )

J'appelle g cette fonction polynome ( qui est continue comme toute fonction polynome )

Sur [0,1] , g strictement décroissante.
g(0)=4/27
g(1)=-1
Donc g s'annule pour une valeur α comprise entre 0 et 1 ; à la calculette , du trouver α=1/2 ( calcul g(1/2) et tu trouveras 0 )

Donc
Pour x∈[0,1/2[ : g(x) > 0
Pour x=1/2 g(x)=0
Pour x ∈]1/2,1] : g(x) < 0

Tu continues de raisonner ainsi sur ]1,2[ , 2 et ]2,3] , toujours avec le tableau de variation.

Oui mais sa c'est par graphique , je dois le faire par calcul et comment je dois faire pour faire les variations de cette fonction ? avec un tableau ?

Non , ce n'est pas par graphique , c'est avec le tableau de variation de g ( plus le calcul de g(1/2)=0 ); c'est pour cela qu'il a été demandé , sinon il ne servirait à rien ...

Mais si tu veux vraiment faire par calcul algébrique , cela est possible mais nécessite du travail...

Tu peux démontrer que g(x)=(x-2)²(1-2x)

En principe , si c'est cela qui était souhaité , une piste serait donnée dans l'énoncé.

A toi de décider sur la méthode .

oui mais je n'est pas fais le tableau de variation vu que je l'avais fais mais d'aprés le polynome du second degré

Je ne comprends pas trop ce que tu dis... .

Tu as écrit :
Citation
je doit etudier les variation sur [ 0, 3] de la fonction -2x^3 +9x²-12x +4 et en deduire le signe (question 4)
donc ça je l'ai fait

Si tu l'as fait , il n'y aucun problème .

oui mais je me suis tromper donc je c'est pas comment faire ? c'est pour cela que je vous demande comment faire ? je dois faire un tableau de variation ?

OUI !

une ligne pour x ( allant de 0 à 3 )
une ligne pour le signe de g'(x) ( - , 0 , + , 0 , - )
une ligne pour les variations de g ( flèche descendante , montante , descendante )

*N'oublie pas d'indiquer les extrema *

Avec cela , tu porras raisonnera pour trouver le signe de g(x).

oui je l'ai fais maintenant je dois faire quoi c'est sa que je comprend pas ?

S'il te plait , indique ce que tu as trouvé pour signe de g(x) sur (0,3]

mtschoon
OUI !

une ligne pour x ( allant de 0 à 3 )
une ligne pour le signe de g'(x) ( - , 0 , + , 0 , - )
une ligne pour les variations de g ( flèche descendante , montante , descendante )

*N'oublie pas d'indiquer les extrema *

Avec cela , tu pourras raisonnera pour trouver le signe de g(x).

j'ai fais sa et aprés j'arrive pas a le faire ? c'est ce que je vous demande .

Commence à relire ce que je t'avais écris précedemment :

Citation
J'appelle g cette fonction polynome ( qui est continue comme toute fonction polynome )

Sur [0,1] , g strictement décroissante.
g(0)=4/27
g(1)=-1
Donc g s'annule pour une valeur α comprise entre 0 et 1 ; à la calculette , du trouver α=1/2 ( calcul g(1/2) et tu trouveras 0 )

Donc
Pour x∈[0,1/2[ : g(x) > 0
Pour x=1/2 g(x)=0
Pour x ∈]1/2,1] : g(x) < 0

Tu continues de raisonner ainsi sur ]1,2[ , 2 et ]2,3] , toujours avec le tableau de variation.

Ok donc pour [1;2] s'a s'annule en 2
donc pour x ∈ [2,1] : g(x) <0
x ∈ 2 : =0
x ∈ [1,2] : g(x) > 0

C'est correct ?

Je pense qu'il y a quelques fautes de frappe ou de crochets

Je résume pour x ∈ [1 , 3] :

Pour x ∈ [1,2[ g(x) < 0
Pour x=2 g(x)=0
Pour x ∈ ]2,3] g(x) < 0

ok merci donc pour la question en deduire le signe de cette expression dans [1,3] je met ca (la reponce juste au dessu ) ?

Oui dans [1,3] oui , mais vérifie si ce n'est pas dans [0,3] - et dans ce cas , tu complètes avec [0,1] qui a déjà été traité -

merci Non c'est bien dans [1,3] Maintenant je fais comment pour : Deduire les position relative de T2 et cK sur [1,3] ?

On avait commencer avec ca :
p(x)-(4/9x-4/27) = -2/27x^3 + 1/3x² - 4/9x + 4/27
= (-2x^3 + 9x² - 12x + 4) / 27

je dois faire quoi aprés ?

p(x)-(4/9x-4/27) est du signe de g(x) vu que 27 est positif

Tu tires les conclusions :

g(x) > 0<=>p(x)-(4/9x-4/27) > 0<=>p(x) > 4/9x-4/27:Ck au dessus de T2
(indique pour quelles valeurs de x cela s'applique )

g(x) = 0<=>p(x)-(4/9x-4/27) = 0<=>p(x) = 4/9x-4/27:Ck "rencontre" T2
(indique pour quelles valeurs de x cela s'applique )

g(x) < 0<=>p(x)-(4/9x-4/27) < 0<=>p(x) < 4/9x-4/27:Ck en dessous de T2
(indique pour quelles valeurs de x cela s'applique )

Ok merci comment je fais pour savoir a quelle valeur s'a saplique ?

Utilise l'étude du signe de g(x) que tu viens de faire : regarde dans les posts au dessus.

ok merci est ce que vous pouvez me faire le graphique avec CK et CF puis avec la tangante T2
Pour voir si je me suis pas tromper ?

Tu peux utiliser ta calculette pour vérifier...

[quote=mtschoon]Je pense qu'il y a quelques fautes de frappe ou de crochets

Je résume pour x ∈ [1 , 3] :

Pour x ∈ [1,2[ g(x) < 0
Pour x=2 g(x)=0
Pour x ∈ ]2,3] g(x) < 0[/quot
Encore une petite question , dan [1,2[ c'est pas > 0