Etudier les limites, le sens de variations et les tangentes d'une fonction exponentielle

bonsoir!!

J'ai un devoir à faire à la maison et j'ai un petit soucis.
Voici l'énoncé:

Soit f la fonction définie sur R par:
f(x)=x-1+(x² $2)e^{-x}$
On note C la courbe représentative de f

A/Etude d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur R par:
g(x)=1-(x² $2x+2)e^{-x}$
a)Etudier les limites de g en -inf/ et en +inf/
b)Etudier le sens de variation de g.
c)Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique (alpha) dans R, puis justifier que 0,35 <= (alpha) <= 0,36.
d)En déduire le signe de g.

B/Etude de f

a)Etudier les limites de f en -inf/ et en +inf/
b)Calculer f'(x)
En utilisant la partie A, étudier le sens de variation de f.
c)Démontrer que $f((alpha))=(alpha)(1+2e^{-(alpha)}$ ) et déterminer un encadrement de f((alpha)) d'amplitude $4*10^{-2}$
d)Démontrer que la droite (delta) d'équation y=x-1 est asymptote à Cen +inf/
Préciser la position de C par rapport à (delta)
e)Donner une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.
f)Tracer (delta),T et C.

J'ai réussi à faire tout l'exercice sauf pour la question B/c) ou il faut trouver
f((alpha)).J'ai essayé en utilisant f(x) et en simplifiant je trouve
$f((alpha))=(alpha)(-1+3e^{-(alpha)}$ )

J'espère que vous pourrez m'aider
Merci d'avance
Bisous

Salut,

Houla !! Etude de fonction !! Ca remonte à loin ça pour moi !!

Question B.c) :

Il faut remarquer que les expressions des fonctions f et g ont plusieurs termes identiques mais de signe opposé.

Calcule donc f(x) + g(x) et annule tous les termes identiques de signe opposé... tadammmm !! Surprise !!!
Reste plus qu'à calculer après f((alpha))...

En tout cas, apparemment tu as bien travaillé puisque tu as fait tout le reste de l'exercice... c'est très bien (c'est malheureusement beaucoup trop rare sur ce forum :frowning2:). Donc je ne t'ai pas donné la réponse détaillée, mais juste le TRUC qu'il fallait voir pour se débloquer... Comme ça au moins tu auras le plaisir de ressentir la fierté d'avoir tout fait toute seule.

Si tu as néanmoins toujours un blocage, je suis disponible.

Et voilou... C'est vrai qu'il fallait le voir quand même !! Remarque, en mathématiques c'est toujours comme ça...

Bye...

kikoo!!!

j'ai fait le calcul et je trouve $f(x)+g(x)=x(1+2e^{-x}$ ) et c'est ce qu'il faut trouvé pour f((alpha)) et comme g(x)=f'(x) ça fait que f((alpha))+f' $alpha))=(alpha)(1+2e^{-(alpha)}$ )
donc du coup je suis encore bloquée pour trouver f((alpha))

Merci pour ton aide
Bisous

g((alpha)) = 0 tu ne t'en sers jamais

Et oui Marouchka...

(alpha) est solution de l'équation g(x) = 0 comme précisé dans la question A-c, donc g((alpha)) = 0.

Donc f((alpha)) + g((alpha)) = f((alpha)) = ... ce qu'il fallait trouver...

Bye...