3. Intégrations et fonctions

Intégrations et fonctions

  • L

    Bonjour ! J'ai un DM à faire et j'ai quelques problèmes avec un exercice : Voilà :

    Soient f et g les fonctions définies sur mathbbRmathbb{R}mathbbR par f(x)=xe1−xf(x)=xe^{1-x}f(x)=xe1−x et g(x)=xg(x)=xg(x)=x^2e1−xe^{1-x}e1−x.

    1)a- Déterminer les limites des fonctions f et g en -∞

    Ici j'ai trouvé -∞ pour f(x) et +∞ pour g(x)

    b- Justifier le fait que les fonctions f et g ont pour limite 0 en +∞

    Je n'arrive pas à voir comment faire... On se trouve avec deux formes indéterminées et mettre x en facteur est impossible donc je suis un peu coincée pour cette question ^^'

    c- Etudier le sens de variation des fonctions f et g et dresser leur tableaux de variation respectifs.

    J'ai fait cette question mais pourriez-vous me dire comment justifier le signe des dérivées dans les tableaux de variations s'il vous plait ?

    2)Pour tout entier naturel n, on définit l'intégrale InI_nIn​ par :
    I0I_0I0​= ∫ de 0 à 1 de e1−xe^{1-x}e1−x dx et, pour n≥1, InI_nIn​= ∫ de 0 à 1 de xxx^ne1−xe^{1-x}e1−xdx

    a- Calculer la valeur exacte de I0I_0I0​

    En faisant avec la primitive de I0I_0I0​ je trouve 1-e...

    b-A l'aide de l'intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel n, In+1I_{n+1}In+1​ = −1+(n+1)In-1+(n+1)I_n−1+(n+1)In​

    c- En déduire la valeur exacte de I1I_1I1​ et de I2I_2I2​

    1. a- Etudier la position relative des courbes CfC_fCf​ et CgC_gCg​ les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormal.

    b- On désigne par A l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les 2 courbes CfC_fCf​ et CgC_gCg​, d'autre part entre les droites d'équation respectives x=0 et x=1
    En exprimant A comme différence de 2 aires que l'on précisera démontrer que A=3-e

    4)Soit a un réel strictement positif supérieur à 1
    On désigne par A' l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes CfC_fCf​ et CgC_gCg​, d'autre part entre les droites d'équation respectives x1 et x=a.
    On admet que A'=3−e=3-e=3−e^{1-a}(a2(a^2(a2+a+1)

    a- Démontrer que A'=A équivaut à eee^a=a2=a^2=a2+a+1

    b- Conclure quant à l'existence et l'unicité du réel a, solution du problème posé.

    Pourriez-vous m'aider à résoudre cet exercice s'il vous plait ? C'est pour lundi et je bloque complètement. :frowning2:
    Merci d'avance !!! 😄

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  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    Quelle est la limite de exe^xex/x quand x tend vers ∞ ?

    Pour les variations, factorise la dérivée et étudie le signe.

    Pour la primitive, indique ton calcul.

    L 1 réponse
  • L

    La limite de exe^xex/x fait +∞ quand x tend vers +∞...

    Pour la primitive je trouve −e1−x-e^{1-x}−e1−x mais je viens de m'appercevoir que j'ai oublié le moins dans mon calcul. Le résultat serai alors plutôt e-1

    Merci du conseil pour les variations

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    C'est correct,

    Utilise ces résultats.

    L 1 réponse
  • L

    Excusez-moi mais je ne comprends pas 😕

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Pour quelle question ?

    L 1 réponse
  • L

    Quand vous me dites "utilise ces résultats"... Je ne vois pas pour quelle question. Et je ne comprends pas non plus à quoi sert la limite de exe^xex/x que vous m'avez demandé

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Pour les limites :
    xe1−xxe^{1-x}xe1−x = e/(exe/(e^xe/(ex/x)

    L 1 réponse
  • L

    Ah d'accord ! Merci beaucoup

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