Surface minimale d'un pavé droit

[Sephyran]

Bonjour à tous. J'ai un petit soucis sur un exercice de mathématique. Voila mon problème :

"Une entreprise doit réaliser des caisses en plastique sans couvercles de la forme d'un parallélépipède rectangle de volume intérieur 0.3 m cube. La longueur est fixée à 1.20m.

Comment choisir la largeur L et la hauteur h pour que la quantité de plastique utilisée soit minimale ?"

J'ai fait un schéma de mon pavé droit, j'en ai conclu que sa surface était 2x(1.20xL) + 2x(1.20xh) + 2x(Lxh).

Je pense par logique que la surface est minimale si c'est un cube, mais pour le démontrer, je pense qu'il faut que je trouve une fonction et que j'étudie sa dérivée pour en trouver le minimum.

Seulement je sèche sur comment trouver cette fonction. Pouvez-vous me donner quelques indications ?

[Noemi]

Bonsoir Sephyran,

Attention, la caisse n'a pas de couvercle.

Exprime le volume en fonction de L et h puis la surface en fonction de L ou h.

[Sephyran]

J'ai exprimé L en fonction de h, ce qui me donne $l=\frac{0.3}{1.20h}$

Et ensuite pour la surface, sans le couvercle, je trouve : $s=2(1.20h)+2(lh)+(1.20l)$

Après avoir remplacé L par ce que j'ai trouvé précédemment et après avoir simplifié j'obtient ceci : $s=\frac{h^2+5.20h+5.76}{1.20h}$

Graphiquement après avoir tracé cette fonction sur ma calculatrice, je trouve que le minimum de cette fonction doit se trouver aux alentours de x=2.4, dans ce cas la surface minimale serait de 8.33 cm cube.

Es-ce bien la fonction que je dois dériver, où me suis-je trompé quelque part ?

[Noemi]

Vérifie tes calculs pour l'expression de S.