Résolution d'une équation trigonométrique sur un intervalle

Bonjour,
j'ai un exercice qui me pose problème, voici le début:

On veut résoudre l'équation √3cosx=sinx, dans [0;2∏[

Démontrer que x est aussi solution de l'équation cos²x= $14\frac{1}{4}$

Bonjour,
Élève les deux membres au carré.

Sur quels membres?

Bonsoir ,

*Juste un passage car Mathtous semble déconnecté *

Les deux membres :

3cos²x=sin²x

je ne comprends pas comment cela peut m'aider à continuer

Pense à la formule fondamentale sin²x+cos²x=1 donc sin²x=...

bah je suis désolé mais je ne vois pas comment faire, et puis avec cela, on va tout de suite l'équation √3cosx=sinx, non?

sin²x=1-cos²x ( formule fondamentale )

Tu remplaces donc sin²x par 1-cos²x dans la relation 3cos²x=sin²x

si c'est bon pour le premier:
Sachant que √3cosx=sin et que (cosx)²+(sinx)²=1
(cosx)²+(√3cosx)²=1
cos²x+3cos²x=1
4cos²x=1
cos²x= $14\frac{1}{4}$

C'est bon.

Merci beaucoup.
mais par la suite, je dois résoudre l'équation cos²x= $14\frac{1}{4}$ dans [0;2∏[
Donc cela j'ai réussi, je trouve:
S={ $π3\frac{\pi }{3}$ ; $5π3\frac{5\pi }{3}$ }
Mais ensuite je dois expliquer pourquoi cosx et sinx doivent avoir le même signe
Je ne comprends pas vraiment

Il te manque des solutions à l'équation à résoudre sur [0,2∏]

Tu dois trouver 4 solutions

$\text{cos^2x=\frac{1}{4} \longleftrightarrow cosx=\frac{1}{2} ou cosx=-\frac{1}{2}$

ah oui c'est vrai j'avais oublié cette possibilité. merci beaucoup
et sinon comprenez vous le fait de devoir expliquer que cosx et sinx doivent être de même signe?
Et encore merci

Je vais essayer de t'expliquer .

L'élévation au carré n'est pas une méthode "régulière"

En résolvant une équation (E) de type a=b, l'élévation au carré te fait résoudre l'équation (F) a²=b²

a=b => a²=b²

Toute solution de (E) est solution de (F)

la réciproque n'est pas vraie car a²=b²=> a=b ou a=-b

Dans ton exercice , en élevant au carré , tu as résolu (F) et tu as trouvé 4 solutions.

L'énoncé te demande ensuite de déterminer ( parmi ces 4 solutions ) celles qui sont solutions de (E)

Regarde l'équation (E) : $3cosx=sinx\sqrt 3cosx=sinx$

Vu que √3 est strictement positif , tu dois trouver aisément que cosx et sinx doivent avoir même signe .

Ainsi , parmi les 4 solutions de (F) , tu trouveras celles qui sont solutions de (E)

Bonjour, Mtschoon.
Citation
L'élévation au carré n'est pas une méthode "régulière"
D'autant plus qu'ici, on obtient immédiatement tan x.
Je ne vois donc pas l'intérêt de l'énoncé.

Bonjour Mathtous ,

C'est sûr ..., mais en Première , peut-être que le professeur n'a traité que le sinus et cosinus . En principe , actuellement , la fonction Tangente s'étudie en Terminale , alors...

PS : Je ne suis permise de répondre hier soir à rider71 car tu étais déconnecté , mais maintenant que tu es là , je te laisse prendre la relève .

Mais au collège, plus de tangente ?!

Je pense que si , mais l'étude précise de la fonction Tangente ( ensemble de définition , dérivée , sens de variation ) se fait actuellement en Terminale .

Le but du professeur , sur cet exercice , doit être de mettre en valeur le problème de l'élévation au carré ( je suppose..., sinon , comme tu dis , cet exercice n'a pas de sens ...)

Peut-être, mais alors 5π/3 est fausse, et par contre il manque 4π/3.

Tout à fait mathtous.

rider71 avait fait un erreur que je lui ai signalée en résolvant cos²x=1/4

Pour cette équation [cos²x=1/4] , il n'avait trouvé que deux valeurs sur les quatre. Il aurait dû trouver ∏/3, 2∏/3,4∏/3, 5∏/3

Il a indiqué qu'il avait compris mais il ne nous a pas donné les deux valeurs manquantes qui avait trouvé...alors...

Ensuite , en analysant des signes de sinx et cosx , il a dû obtenir,s'il n'a pas fait d'erreurs de tri, pour l'équation de départ [√3cosx=sinx] , ∏/3 et 4∏/3

On va bien voir s'il a vraiment compris ou s'il a besoin d'aide !

A suivre .

Comme tu dis Mathtous , pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué...

D'autant qu'un dessin vaut souvent mieux qu'un long discours.

$fichier math$

Désolé je n'ai pas pu me connecter avant et pour vous répondre, en effet, nous n'avons pas encore étudier la fonction tangente.
Et merci pour vos réponse.

C'était avec plaisir !

( *Quand tu auras vu le fonction tangente , tu trouveras l'exercice très facile ! *)