Bonjour,
Visiblement, @Shiiro n'a eu besoin d'aide seulement que pour démontrer que G défini par GA→+GB→+GC→=0→\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}GA+GB+GC=0 satisfait à : AG→=13AB→+13AC→\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}AG=31AB+31AC
Vu qe l'énoncé parle de M et de N, je mets, pour consultation éventuelle, une suite possible :
Montrer que le point G (appelé isobarycentre des points A,B,C), est le point d'intersection des médianes c'est à dire le centre de gravité du triangle ABC.
Quelques pistes par calcul vectoriel,
Coordonnées de G
Les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}AB sont (3−11,−2−2)=(−8,−4)( 3-11,-2-2)=(-8,-4)(3−11,−2−2)=(−8,−4)
Les coorconnées de AC→\overrightarrow{AC}AC sont (1−11,6−2)=(−10,−4)(1-11,6-2)=(-10,-4)(1−11,6−2)=(−10,−4)
Les coordonnées de AG→\overrightarrow{AG}AG sont (xG−11,yG−2)(x_G-11,y_G-2)(xG−11,yG−2)
L'égalité AG→=13AB→+13AC→\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}AG=31AB+31AC permet d'écrire:
xG−11=13(−8)+13(−10)x_G-11=\dfrac{1}{3}(-8)+\dfrac{1}{3}(-10)xG−11=31(−8)+31(−10) d'où xG=5\boxed{x_G=5}xG=5
yG−2=13(−4)+13(4)y_G-2=\dfrac{1}{3}(-4)+\dfrac{1}{3}(4)yG−2=31(−4)+31(4) d'où yG=2\boxed{y_G=2}yG=2
Cordonnées de M et de N
AM→=12AB→\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}AM=21AB permet d'obtenir M(7,0)M(7,0)M(7,0)
AN→=12AC→\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}AN=21AC permet d'obtenir N(6,4)N(6,4)N(6,4)
Alignement des points C,G,M et des points B,G,N
On peut prouver que CG→=23CM→\overrightarrow{CG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CM}CG=32CM et BG→=23BN→\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BN}BG=32BN
Conclusion
G est le point d'intersection des médianes (CM) et (BN).
Vu que les 3 médianes de tout triangle sont concourantes, G est le point d'intersection des trois médianes donc le centre de gravité du triangle (ABC)
Bonne lecture éventuelle.
