Colinéarité, milieu, droites parallèles

Bonjour,

Exercice 1 :
Dans (vecteur O , vecteur I, vecteur J), un repère orthonormé du plan, on considère les points A (2; -1), B (1 ; 3) et C (-4 ; 3)

Déterminer les coordonnées du point I, milieu du segment [AC].
Déterminer les coordonnées des points J et K tels que vecteur JA + 2 vecteur JB = vecteur 0 et 2 vecteur KA + vecteur KC = vecteur 0.
Démontrer que les droites (JK) et (BI) sont parallèles.

Voici mes réponses :

I ( (xA+xC) /2 ; (yA + yC) /2)
I ( (2-4) /2 ; (-1 + 3) / 2)
I ( -2/2 ; 2/2)
I ( -1 ; 1)
J(x ; y)
vecteur JA ( xA - xJ ; yA - yJ )
vecteur JA ( 2 - xJ ; -1 - yJ)

vecteur JB ( xB - xJ ; yB - yJ )
vecteur JB ( 1 - xJ ; 3 - yJ)
2 vecteur JB ( 2 (1-xJ) ; 2(3-yJ) )
2 vecteur JB ( 2-2xJ ; 6 - 2yJ)

2- xJ = 2- 2xJ

xJ = 2- 2xJ - 2
-xJ + 2xJ = 0
xJ = 0

-1-yJ = 6 - 2yJ
-yJ = 6 - 2yJ + 1
-yJ + 2yJ = 7
yJ = 7

Donc J ( 0 ; 7)

K (x ; y)
vecteur KA ( xA - xK ; yA - YK)
vecteur KA (2- xK ; -1 - yK)
2 vecteur KA (2(2-xK) ; 2 (-1 -yK) )
2 vecteur KA (4 - 2xK ; -2 - 2yK)

vecteur KC ( xC - xK ; yC- yK)
vecteur KC ( -4 - xK ; 3 - yK)

4-2xk = -4 -xK
-2xK = -4 -xK - 4
-2xK + xK = -4 - 4
-xK = -8
xK = 8

-2- 2yK = 3 - yk
-2yK = 3- yK +2
-2yK + yK = 3 +2
-yK = 5
yK = -5

Donc K (8 ; -5)

JK (xK -xJ ; yK - yJ)
JK (8 - 0 ; -5 - 7 )
JK (8 ; -13 )

BI ( xI - xB ; yI - yB)
BI ( - 1 - 1 ; 1 - 3 )
BI ( -2 ; -2)

donc..... ???
Les vecteurs JK et BI sont colinéaires.
Donc les droites JK et BI sont parallèles.

Pouvez vous m'aider et me dire si mes réponses sont bonnes s'il vous plait. Merci.

Bonjour chat,

Pour la question 2, calcule vect JA + 2 vect JB

Idem avec 2 vect KA + vect KC.

vect JA + 2 vect JB
(2 -xJ ; -1 - yJ) + ( 2 -2xJ ; 6-2yJ)
(2-0 ; -1-7) + (2-2 * 0 ; 6-2 * 7)
(2 ; -8) + (2 ; -8)
Les vecteurs sont égales. Donc ils sont colinéaires. Donc ils sont parallèles.

Est ce que c'est bon ? est-ce que j'aurai du ajouter ou enlever ou modifier quelque chose ? je ne sais pas trop bien comment présenter les calcules et quelle phrase de conclusion il faut mettre ?

vect JA + 2 vect JB
(2 -xJ ; -1 - yJ) + ( 2 -2xJ ; 6-2yJ)
(4-3xJ ; 5-3yJ) qui doit être égal à (0;0)
Résous les deux équations.

D'accord. Merci pour votre aide. J'ai modifié mes réponses.

Voici mes réponses :

I ( (xA+xC) /2 ; (yA + yC) /2)
I ( (2-4) /2 ; (-1 + 3) / 2)
I ( -2/2 ; 2/2)
I ( -1 ; 1).
J(x ; y)
vecteur JA ( xA - xJ ; yA - yJ )
vecteur JA ( 2 - xJ ; -1 - yJ)

vecteur JB ( xB - xJ ; yB - yJ )
vecteur JB ( 1 - xJ ; 3 - yJ)
2 vecteur JB ( 2 (1-xJ) ; 2(3-yJ) )
2 vecteur JB ( 2-2xJ ; 6 - 2yJ)

JA + 2JB = 3 JA + 2AB = 0
d'où 3(xA-xJ)+ 2(xB - xA) = 0. ou 3xJ = 8 et xJ = 8/3
d'où 3(yJ-yA) + 2(yB-yA) = 0 où 3yJ = -11 et yJ = -11/3
Les coordonnées de J sont donc ( 8/3 ; -11/3)

K (x ; y)
vecteur KA ( xA - xK ; yA - YK)
vecteur KA (2- xK ; -1 - yK)
2 vecteur KA (2(2-xK) ; 2 (-1 -yK) )
2 vecteur KA (4 - 2xK ; -2 - 2yK)

vecteur KC ( xC - xK ; yC- yK)
vecteur KC ( -4 - xK ; 3 - yK)

3 KA+ AC = 0
d'où 3 (xK - xA) + (xC - xA) = 0 où 3xK = 12 et xK = 12/3
d'où 3(yK - yA) + (yC - yA) = 0 où 3yK = -7 et yK = -7/3

Les coordonnées de K sont donc (12/3 ; -7/3 ).

JK (xK -xJ ; yK - yJ)
JK (8 - 0 ; -5 - 7 )
JK (8 ; -13 )

BI ( xI - xB ; yI - yB)
BI ( - 1 - 1 ; 1 - 3 )
BI ( -2 ; -2)

Les coordonnées de BI et JK sont différentes donc ils ne sont pas parallèles.

Pouvez vous m'aider et me dire si mes réponses sont bonnes s'il vous plait. Merci.

Soit tu appliques directement les coordonnées des vecteurs JA et JB, soit tu transformes en 3 vect JA + vect AB

Des erreurs de calculs, vérifie.

J'ai modifié la réponse du 2. la voici :

J(x ; y)
vecteur JA ( xA - xJ ; yA - yJ )
vecteur JA ( 2 - xJ ; -1 - yJ)

vecteur JB ( xB - xJ ; yB - yJ )
vecteur JB ( 1 - xJ ; 3 - yJ)
2 vecteur JB ( 2 (1-xJ) ; 2(3-yJ) )
2 vecteur JB ( 2-2xJ ; 6 - 2yJ)

JA + 2JB = 3 JA + 2AB = 0
d'où 3 (xA-xJ) + 2(xB - xA) = 0. ou 3xJ = 4 et xJ = 4/3
d'où 3(yA-yJ) + 2(yB-yA) = 0 où 3yJ = 5 et yJ = 5/3
Les coordonnées de J sont donc ( 4/3 ; 5/3)

K (x ; y)
vecteur KA ( xA - xK ; yA - YK)
vecteur KA (2- xK ; -1 - yK)
2 vecteur KA (2(2-xK) ; 2 (-1 -yK) )
2 vecteur KA (4 - 2xK ; -2 - 2yK)

vecteur KC ( xC - xK ; yC- yK)
vecteur KC ( -4 - xK ; 3 - yK)

3 KA+ AC = 0
d'où 3 (xA - xK) + (xC - xA) = 0 où 3xK = 0 et xK = 0
d'où 3(yA - yK) + (yC - yA) = 0 où 3yK = 1 et yK = 1/3

Les coordonnées de K sont donc (0 ; 1/3).

Pouvez vous me dire si mes réponses sont bonnes et m'aider s'il vous plait. Merci.

JA + 2JB = 3 JA + 2AB = 0
d'où 3 (xA-xJ) + 2(xB - xA) = 0. ou 3xJ = 4 et xJ = 4/3
d'où 3(yA-yJ) + 2(yB-yA) = 0 où 3yJ = 5 et yJ = 5/3
Les coordonnées de J sont donc ( 4/3 ; 5/3)
3 KA+ AC = 0
d'où 3 (xA - xK) + (xC - xA) = 0 où 3xK = 0 et xK = 0
d'où 3(yA - yK) + (yC - yA) = 0 où 3yK = 1 et yK = 1/3
Les coordonnées de K sont donc (0 ; 1/3).

C'est juste.

D'accord. Merci.