4. intégrales, fonctions et suites

intégrales, fonctions et suites

  • N

    Bonjour j'ai un devoir maison à faire pendant les vaconces sauf que je suis complétement perdu et ne sais même pas par quoi commencer voici le fameux sujet :

    Soit le plan rapporté à un repère orthonormal (O ; i ; j). Soit I l'intervalle [0 ; 1] et n non nul et fn la fonction définie sur I par : fn(x) = (1-x²)n)^n)n et Cn la courbe représentative de fn dans le repère.

    1. Pour tout n et m entiers naturels non nuls, déterminer de nombre de points d'intersection des courbes Cm et Cn pour m>n.
      (pour cette question j'ai commencer à faire une equation qui donne (1-x²)n)^n)n = (1-x²)m)^m)m mais je sais pas comment aller plus loin)

    2. Soit la suite numérique (Un) définie pour n entier naturels non nul, par : Un = integrale de 0 à 1 (1-x²)n)^n)n dx.

    a) expimer Un+1 en fonction de n et Un (on pourra utiliser une integration par partie judicieuse)

    b) Déterminer le sens de variation de la suite (Un) et montrer que la suite (Un) est une suite convergente.

    A première vu cet exercice me pparraissait simple mais en pratique beaucoup moins ^^

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Je regarde ta question 1)

    (1−x2)m=(1−x2)n(1-x^2)^m=(1-x^2)^n(1−x2)m=(1−x2)n

    Tu dois résoudre sur [0,1]

    Pour x=1 , solution "évidente "

    Il te reste à résoudre sur [0,1[

    Sur cet intervalle , (1-x²)>0

    Tu peux résoudre en prenant le logarithme népérien de chaque membre et tu trouveras que sur cet intervalle [0,1[ la seule solution est 0.

    Conclusion : deux points d'intersection de coordonnées (0,1) et (1,0)

    N 1 réponse
  • N

    oui merci, mais je comprend pas pourquoi on peut utiliser le logarithme népérien sur [0,1] et comment en déduire des coordonnées à partir de valeur ?

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Sur [0,1[

    ln(1−x2)m=ln(1−x2)nln(1-x^2)^m=ln(1-x^2)^nln(1−x2)m=ln(1−x2)n

    mln(1−x2)=nln(1−x2)mln(1-x^2)=nln(1-x^2)mln(1−x2)=nln(1−x2)

    En transposant et en factorisant :

    (m−n)ln(1−x2)=0(m-n)ln(1-x^2)=0(m−n)ln(1−x2)=0

    Vu que (m-n)≠0 :

    ln(1−x2)=0ln(1-x^2)=0ln(1−x2)=0

    Je te laisse terminer la résolution

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