Fonction exponentielle, intégrale ET suite.



  • Bonjour,
    Pourriez vous m'aider à résoudre cet exercice? Merci.
    J'ai réussi la première partie.
    1)Soit la fonction défini sur IR par : f(x)=x2e1xf(x)=x^{2}e^{1-x}
    a. Trouver les limites. En +(inf), on a 0+ et en -(inf), on a +(inf) (je n'ai pas trouvé le symbole 'infini' !)
    b. Determiner f' : f(x)=2xe1xx2e1xf'(x)=2xe^{1-x}-x^{2}e^{1-x}
    c. Donner le tableau de variation : sur ]-(inf);0], f décroit ; sur ]0;2[, fr croit et sur ]2;+(inf)[, f décroit.

    1. On considère l'intégrale ini_{n} défini par in=01xne1xdxi_{n}=\int_{0}^{1}{x^{n}e^{1-x}}dx
      a. Calculer I1=-2+e et I2=-5+2e
      b. Ici, je bloque. Donner une interprétation graphique du nombre I2. Je ne vois pas ce qu'il faut trouver. Faut-il faire un lien avec la première partie? Mais comment?
      c. Etablir une relation entre in+1i_{n+1} et ini_{n}. Tout ce que j'ai réussi à prouver pour l'instant c'est que cette suite n'est ni arithmétique ni géometrique. Je ne sais pas comment continuer...


  • Bonjour,
    peux-tu préciser tes calculs pour I1 et I2 ?



  • Oui, bien sur.
    Il fallait intégrer par partie pour les deux.
    Pour I1, j'ai donc :
    i1=01xe1xi_{1}=\int_{0}^{1}{xe^{1-x}}dx
    01xe1xdx=[xe1x]1<em>0</em>01e1xdx\int_{0}^{1}{xe^{1-x}}dx=[-xe^{1-x}]^{1}<em>{0}-\int</em>{0}^{1}{-e^{1-x}}dx
    01xe1xdx=1[e1x]1<em>0=11+e=2+e\int_{0}^{1}{xe^{1-x}}dx=-1-[e^{1-x}]^{1}<em>{0}=-1-1+e=-2+e
    Et pour I2 :
    i</em>2=01x2e1xdxi</em>{2}=\int_{0}^{1}{x^{2}e^{1-x}}dx
    01x2e1xdx=[x2e1x]1<em>0</em>012xe1xdx\int_{0}^{1}{x^{2}e^{1-x}}dx=[-x^{2}e^{1-x}]^{1}<em>{0}-\int</em>{0}^{1}{-2xe^{1-x}}dx
    01x2e1xdx=1+201xe1xdx=1+2i1\int_{0}^{1}{x^{2}e^{1-x}}dx=-1+2\int_{0}^{1}{xe^{1-x}}dx=-1+2i_{1}
    01x2e1xdx=1+2(2+e)=5+2e\int_{0}^{1}{x^{2}e^{1-x}}dx=-1+2(-2+e)=-5+2e



  • Ça me paraît juste.
    Pour le 2)b) : ne s'agit-il pas d'une aire ?
    I2 = ∫$$_0$^1$ f(x) dx



  • Ah oui, je n'avais pas fait le lien.
    Et pour le 2)c)? 😕



  • Comme le 2)a) : une intégration par parties .
    Regarde ce que tu as déjà fait : tu as exprimé I2 en fonction de I1 que tu avais calculé auparavant.



  • Haaa, oui. Tout s'éclaire !! Merci beaucoup. 😁



  • De rien.
    Est-ce qu'on te demande d'exprimer In en fonction de n ?


 

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