problème avec les variations d'une fonction



  • Bonjour à tous, j'ai des difficultés sur un exercice et je vous demande un peu d'aide :

    Dans un milieu de culture, une population microbienne évolue au cours du temps.
    Elle passe de N0N_0 éléments à N1N_1 éléments au bout de 15 heures.
    Si on note N(t) le nombre de bactéries au bout de t heures, on admet que :
    N(t)=NN(t)=N_0ekt*e^{kt} (k est une constante dépendant du type de bactéries et t est exprimé en heures)

    1. En utilisant N(15)=N1N(15)=N_1, exprimé k en fonction de N0N_0 et de N1N_1 puis démontrer que : N(t)=NN(t)=N_0(N(N_1/N/N_0)t/15)^{t/15}
      J’ai su trouver k et démontrer l’égalité.

    2. La population a triplé au bout de 15h.

    a)exprimé N(t) en fonction de t, étudier les variations de N sur [0;15] et dresser son tableau de variation.
    Voilà mon raisonnement :
    On sait que : N(t)=NN(t)=N_0(N(N_1/N/N_0)t/15)^{t/15}
    Or N(15)=N1N(15)=N_1= 3N03N_0
    Donc N(t)= NN_03t/15*3^{t/15}
    C’est là que je commence à bloquer car pour étudier les variations, je suppose qu’il faut dériver sauf que je n’arrive pas à savoir comment m’y prendre pour cette équation à cause de la puissance t/15 et la constante inconnue N0N_0.
    J’ai pensé utiliser quelques règles de dérivation comme :
    f(x)=ax f’(x)=a
    g(x)=axg(x)=a^x (a<0) g’(x)=ax(x)=a^x lna
    (uv)’ = (u’v+uv’)
    Mais je n’arrive pas à obtenir quelque chose de concluant, ne sachant pas trop dans quel sens prendre tout cela…
    Je vous remercie d’avance pour votre aide.



  • Bonsoir Ketsa,

    C'est bien la dérivée de axa^x qu'il faut utiliser.
    No est une constante.



  • Merci pour ta réponse
    On poserai alors pour appliquer cette formule x= (t/15) ?

    u(x)= 3t/153^{t/15}
    u'(x)=3t/15(x)=3^{t/15}ln3

    donc N'(t)=N(t)=N_03t/153^{t/15}ln3
    On garde la constante N0N_0 telle quelle ?



  • Attention la dérivée de 3t/153^{t/15 } est (ln3)/15 <em>3t/15<em>3^{t/15}
    Avec No,
    cela donne No(ln3)/15 3t/15*3^{t/15}



  • ha d'accord !
    ma démarche de mettre x=(t/15) était mauvaise !

    Donc en reprenant la formule g(x)=axg(x)=a^x (a<0) g’(x)=ax(x)=a^x lna
    On pose x=t et a=31/15a=3^{1/15}

    donc la dérivée est égale à 33^{t/15}<em>ln31/15<em>ln3^{1/15}
    qui équivaut donc à 3t/153^{t/15}(ln3)/15
    Et on multiplie le tout par la constante N0N_0

    Merci beaucoup !


 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.