problème avec les variations d'une fonction

[Ketsa]

Bonjour à tous, j'ai des difficultés sur un exercice et je vous demande un peu d'aide :

Dans un milieu de culture, une population microbienne évolue au cours du temps.
Elle passe de $N_0$ éléments à $N_1$ éléments au bout de 15 heures.
Si on note N(t) le nombre de bactéries au bout de t heures, on admet que :
$N(t)=N$_0$\ast e^{kt}$ (k est une constante dépendant du type de bactéries et t est exprimé en heures)

1. En utilisant $N(15)=N_1$, exprimé k en fonction de $N_0$ et de $N_1$ puis démontrer que : $N(t)=N$_0$(N$_1$/N$_0${)}^{t/15}$
   J’ai su trouver k et démontrer l’égalité.

2. La population a triplé au bout de 15h.

a)exprimé N(t) en fonction de t, étudier les variations de N sur [0;15] et dresser son tableau de variation.
Voilà mon raisonnement :
On sait que : $N(t)=N$_0$(N$_1$/N$_0${)}^{t/15}$
Or $N(15)=N_1$= $3N_0$
Donc N(t)= $N$_0$\ast 3^{t/15}$
C’est là que je commence à bloquer car pour étudier les variations, je suppose qu’il faut dériver sauf que je n’arrive pas à savoir comment m’y prendre pour cette équation à cause de la puissance t/15 et la constante inconnue $N_0$.
J’ai pensé utiliser quelques règles de dérivation comme :
f(x)=ax f’(x)=a
$g(x)=a^x$ (a<0) g’$(x)=a^x$ lna
(uv)’ = (u’v+uv’)
Mais je n’arrive pas à obtenir quelque chose de concluant, ne sachant pas trop dans quel sens prendre tout cela…
Je vous remercie d’avance pour votre aide.

[Noemi]

Bonsoir Ketsa,

C'est bien la dérivée de $a^x$ qu'il faut utiliser.
No est une constante.

[Ketsa]

Merci pour ta réponse
On poserai alors pour appliquer cette formule x= (t/15) ?

u(x)= $3^{t/15}$
u'$(x)=3^{t/15}$ln3

donc N'$(t)=N$_0$3^{t/15}$ln3
On garde la constante $N_0$ telle quelle ?

[Noemi]

Attention la dérivée de $3^{t/15}$ est (ln3)/15 $<em>3^{t/15}$
Avec No,
cela donne No(ln3)/15 $\ast 3^{t/15}$

[Ketsa]

ha d'accord !
ma démarche de mettre x=(t/15) était mauvaise !

Donc en reprenant la formule $g(x)=a^x$ (a<0) g’$(x)=a^x$ lna
On pose x=t et $a=3^{1/15}$

donc la dérivée est égale à $3$^{t/15}$<em>ln{3}^{1/15}$
qui équivaut donc à $3^{t/15}$(ln3)/15
Et on multiplie le tout par la constante $N_0$

Merci beaucoup !