polynome de degré 2

Bonjour, voici l'exercice que je doisf faire:
f est un polynome du second degré. P est la parabole représentant f dans un repère orthogonal. Dans chacun des cas suivants, traiter les informations pour retrouver l'expression de f(x).
1)P a pour sommet S(2;3). e point A(0;-1) appartient à P
2)P coupe l'axe des abcisses aux points A(-2;0) et B(1;0), et l'axe des ordonnées au point C(0;2)
3)P admet pour axe de symétrie la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point A(1;0). P coupe l'axe des abcisses en l'orgine O du repère et passe par le point A(3;1)
Je n'ai pas compris cet exercie. Pouvez vous me l'expliquez?
Je vous remercie d'avance

Bonjour,

Si une fonction f et de la forme f(x) = ax² + bx + c

Le sommet a pour abscisse ...... donc ..... = 2 et f(2) = .....

Le point A(0;-1) appartient à P, donc f(0) = ...

Tu remplis les ... et on continue plus tard

le sommet a pour abscisse -b/2a donc a=2 et f(2)=3
le point A(0;-1) appartient à P, donc f(o)=-1

Bonjour,

Tes conclusions ne sont pas bonnes. Soit f(x)=ax²+bx+c avec a≠0

$−b2a=2\frac{-b}{2a}=2$ , donc , en faisant pes produits en croix : $- b = 4 a$

f(2)=3 <=> a.2²+b.2+c=3 <=> $4 a + 2 b + c = 3$

f(0)=-1 <=>a.0²+b.0+c=-1 <=> $c = - 1$

Tu as ainsi un système à résoudre.

donc c'est f(x)=4a+2b+c
l'expression finale doit elle être obligatoirement de la forme ax²+bx+c?

p coupe l'axe des abscisses en deux points
donc la forme factorisée est (x-(-2))(x-1)=(x+2)(x-1)

Et tu ne te sers pas de l'info : ""et l'axe des ordonnées au point C(0;2)""

Relis ton cours sur la factorisation d'un polynôme du second degré

si $x_1$ et $x_2$ sont les racines d'un polynôme du second degré alors

ax² + bx + c = a (x - $x_1$ ) (x - $x_2$ )

dans le 1) ax²+bx+c=-1x²+4x-1
a=-1
donc f(x)=-1(x+2)(x-1)

tu ne sais pas que a = -1 ....

rien ne te donne cet indice,
Tu sais juste que :

le point A(0;-1) appartient à P, donc f(0) = quoi ?

P a pour sommet S(2;3) ,

donc -b/(2a) = quoi
et
f(2) = quoi ?

Tu vas trouver 3 équations à 3 inconnues a , b et c qui te permettront de trouver a , b et c

f(0)=1
a0²+b0+c=1
0+0+c=1
c=1

p a pour sommet S(2;3)
l'abscisse du sommet est -b/2a
-b/2a=2
-b1=22a
-b=4a
b=-4a
f(2)=3
a2²+b2-1=3
4a+2b-1=3
4a+2(-4a)=3+1
4a-8a=4
-4a=4
a=-1
donc b=-4a=-4*(-1)=4
alors f(x)=-1x²+4x-1
b=4*

Bravo , si tu as trouvé tout(e) seul(e) tant mieux, tu sauras le refaire dans un DS à venir !

Alors pour les autre questions , tu nous donnes quoi comme réponses ?

P représentant la fonction f définie par f(x) = ax² + bx + c coupe l'axe des abscisses aux points A(-2;0) et B(1;0),

Donc f(??) = ???

et f(??) = ??

et l'axe des ordonnées au point C(0;2)

donc f(??) = ??

Il faut que tu remplaces tous les ???

f(-2)=0
f(1)=0
f(0)=2

comme p coupe l'axe des abscisses en 2 points j'utilise la forme factorisée
ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
-x²+4x-1=a(x-x1)(x-x2)
a=-1
f(x)=-1(x-(-2))(x-1)=-1(x+2)(x-1)
en fait je n'ai pas utilisé C(0;2) est ce grave?

f(x)=-(x+2)(x-1)

comme p coupe l'axe des abscisses en 2 points (0;0) et (3;1) on utilise la forme factorisée
a=-1
-f(x)=-1(x-0)(x-3)=-(x-0)(x+3)

Comment trouves tu a = -1 pour 2) ???

Tu as beaucoup de chance que ça marche !

Idem pour 3) pourquoi aurait-on a = -1 ???

pour le 2) je ne sais pas comment trouver a en utilisant C(0;2)

Bonjour,

Pour le 2) tu as f(x) = a(x+2)(x-1)
Utilise le fait que f(0) = 2 pour trouver la valeur de a.

f(0)=2
a(0+2)(0-1)=2
a0+a2+a0+a-1=2
0+2a+0-a=2
2a-a=2
a=2

Pourquoi te compliques-tu la vie pour calculer a (0+2) (0-1)

0 + 2 = 2
0 - 1 = -1

Donc (0+2)(0-1) = 2 * (-1) = -2 et pas 2

Donc a (0+2) (0-1) = 2 est équivalent à -2a = 2 donc a = ....

Au passage je te disais ce matin :

Citation

Comment trouves tu a = -1 pour 2) ???

Tu as beaucoup de chance que ça marche !

a(x-x1)(x-x2)
f(0)=0
f(3)=1
a(x-0)(x-3)
f(1)=0
a(1-0)(1-3)=0
a+0+a-3a=0
2a-3a=0
-a=0
a=0
f(x)=(x-0)(x-3)

donc a=-1

alors f(x)=-1(x+2)(x-1)

3)f(1)=0
f(0)=0
f(3)=1
a(x-x1)(x-x2)
a(x-0)(x-3)
f(1)=0
a(1-0)(1-3)
1-0=1
1-3=-2
(1-0)(1-3)=1*(-2)=-2
a(x-0)(x-3)=0 équivaut à -2a=0
a=0
f(x)=(x-0)(x-3)

Bonjour,

Une erreur dès le début,
la valeur de f(1) n'est pas connue.

Bonjour, j'ai mis f(1)=0 car dans l'énoncé il est écrit "passant par le point A(1;0)

C'est l'axe de symétrie qui passe par le point A(1;0) et non la fonction.

ah ok!

3)f(0)=0
f3)=1
a(x-0)(x-3)
x-0=0
x-3=3
3a=1
a=1/3

f(0)=0

Il faut remplacer x par 0 ...

f(3)=1

Il faut remplacer x par 3

Je ne comprends rien à tes déductions !

en fait pour le 3) faut il utiliser les coordonnées de A?
Pouvez vous me réexpliquer le méthode pour y arriver?

Bin oui , il faut utiiliser tous les indices donnés

en particuliers : P admet pour axe de symétrie la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point A(1;0)

cela veut dire que le sommet est atteint pour x = 1

Je te laisse réfléchir !

A(1;0) est le sommet S de la parabole
comme P coupe l'axe des abscisses en 2 points j'utilise la fore factorisée pour trouver f(x)

P coupe l'axe des abscisses en l'origine O du repère, c'est a dire que f(0)=0
appelons x1 et x2 les abscises des deux points en lesquels la courbe coupe l'axe des abscisses
c'est a dire f(x1)=f(x2)=0
on sait que x1=0
si la droite x=1 est axe de symétrie, alors la moyenne de x1 et x2 est égale à 1
0+x2/2=1
x2=2
f(x)=a(x-0)(x-2)=ax(x-2)
f(3)=1
a*3(3-2)=1
3a=1
a=1/3
donc f(x)=1/3x(x-2)
f(x)=1/3x²-2/3

Faute de frappe !

f(x) = (1/3)x² - (2/3)x .... oui ....