Etudier la convergence, limites et variations d'une suite - Intégrales

Bonjour, j'ai de gros problèmes avec un exercice de mon devoir maison : je n'arrive même pas à le commencer :frowning2: . Merci d'avance pour m'accorder de votre temps.

On veut étudier la suite $S_n$ = $$^n$_{k=1}$∑ 1/k , n≥1.

démontrer que pour tout k ∈ N*,

1/(K+1) ≤ ∫$$_k$^{k+1}$ dx/x ≤ 1/k

puis démontrer que pour tout k≥2,

∫$$k$^{k+1}$ dx/x ≤ 1/k ≤ ∫$${k-1}$^k$ dx/x

déduire que : ln(n+1) - ln(2) + 1 ≤ $S_n$ ≤ 1+ln(n) , pour n≥1
justifier que la suite $S_n$ ) diverge.

4)étudier les variations de la fonction f définie par : f(x)= x+ln(1-x) sur [0;1[. déduire le signe de f sur [0;1[

On pose $U_n$ = $S_n$ - ln(n) , n≥1.

Montrer que $U_{n+1}$ - $U_n$ = f(1/(n+1)) . Déduire le sens de variation de la suite $U_n$ )

justifier que la suite $U_n$ ) converge vers une limite notée a
en déduire que
$$_{k=1}$^n $\sum 1 / k =$ ln(n)+a+V_n$
avec $limV_n$ =0 en +∞
déterminer une valeur approchée de a à 0,01 près.

Merci à tous

Salut

je te montre vite fait le début de 1)

prenant x entre k et k+1, on a 1/(k+1) ≤ 1/x ≤ 1/k.

par intégration entre k et k+1, on a donc 1/(k+1) ≤ ∫$$_k$^{k+1}$ dx/x ≤ 1/k, car k+1 - k = 1.

Bonjour
Merci beaucoup, j'ai essayé la fin de la 1:
on dit que k+1>k>k-1
donc 1/(k+1)<1/k<1/(k-1)
en intégrant on trouve l'inégalité à montrer.
Est-ce que c'est bon ?
Merci beaucoup de votre aide

j'ai réussi à la 4 et à la 5. Mais je bloque vraiment pour la 2, pourriez vous m'aider s'il vous plait ?

Pour
Citation
démontrer que pour tout k ≥ 2,
∫$$k$^{k+1}$ dx/x ≤ 1/k ≤ ∫$${k-1}$^k$ dx/x
tu as un peu bâclé.

Partant de pour tout k ∈ N*, 1/(k+1) ≤ ∫$$_k$^{k+1}$ dx/x ≤ 1/k
on en déduit ∫$$k$^{k+1}$ dx/x ≤ 1/k ≤ ∫$${k-1}$^k$ dx/x , d'où l'encadrement demandé.

Pour
Citation
2) déduire que : ln(n+1) - ln(2) + 1 ≤ $S_n$ ≤ 1+ln(n) , pour n≥1
il suffit d'écrire "toutes" les doubles inégalités ∫$$k$^{k+1}$ dx/x ≤ 1/k ≤ ∫$${k-1}$^k$ dx/x pour k entre 2 et n, puis de les ajouter membre à membre. Essaie !

merci, je ne suis pas sure de ce qu'il fallait faire
∑(k=2,n) 1/n+1 ≤ ∑(k=2,n) ∫(k,k+1) dx/x ≤ ∑(k=2,n) 1/k ≤ ∑(k=2,n) ∫(k-1,k) dx/x

∑(k=2,n) 1/n+1 = Sn -1 + (1/(n+1))
∑(k=2,n) 1/k = Sn -1

est-ce qu'on peut rassembler les ∑ et les ∫ dans les deux autres expressions ?