Etude sur les suites convergeant vers le nombre d'Or

Bonjour,
Pour les vacances nous avons a finir le chapitre sur les suites, pour nous aider notre prof nous a donné une feuille de route mais sur certaines questions j'eprouve quelques problemes...
Voici l'énoncer :

La suite (an)
On pose a0=2 et, pour n≥0, an+1= $1+1an1+\frac{1}{a_n}$

1/a/ Etudier les variations de la fonction f(x)= $1+1x1+\frac{1}{x}$

b/ En deduire que, pour tout x de $[32;2]\left[\frac{3}{2};2 \right]$

, f(x) appartient à $[32;2]\left[\frac{3}{2};2 \right]$
3/a/ Das un repere orthonormal d'unité bien choisie, representer le morceau de la courbe f qui nous interresse pour visualiser graphiquement l'evolution de la suite.
b/ En utilisant le graphique precedent ( et la premiere bissectrice), reperer sur l'axe des abscisses, les premieres valeurs de la suite.
c/ Que suggere cette representation concernant le sens de variation de (un)
d/ Quelle particularité possede la valeur ∅ vers laquelle la suite semble converger? Determiner par un calcul cette limite.

La suite (bn)
On pose b0=2 et, pour tout n≥0, bn+1= $bn+1\sqrt{b_n+1}$
1/a/ Etudier les variations de la fonction g(x)= $x+1\sqrt{x+1}$
b/ Montrer que g(∅)=∅
c/ En deduire que, pour tout x de [∅;2] g(x) appartient à [∅;2]
2/ Expliquer alors pourquoi pour tout n≥0 ∅≤bn≤2
3/a/ Dans un repere orthonormal representer la courbe de g
b/ En utilisant l graphique precedent ( et la premiere bissectrice) reperer sur l'axe des abscisses, les premieres valeurs de la suite. Que suggere cette representation concernant le sens de variation de (bn) et sa convergence?
c/ Etablire la relation $b_n_+_1-b_n=\frac{-b_n^{2}+b_n+1}{\sqrt{b_n+1}+b_n}$ et en deduire le sens de variation de la suite (bn)

La suite (cn)
On pose c0=2 et, pour tout n≥0 $c_n_+_1=\frac{c_n^{2}+1}{2c_n-1}$
1/ Calculer c1 et c2
2/a/ On pose, pour tout $x≻12x\succ \frac{1}{2}$ , h(x)= $x2+12x−1\frac{x^{2}+1}{2x-1}$
Verifier que h(∅)=∅ et h'(∅)=0, puis montrer que la fonction h est croissante sur l'intervalle [∅;+∞]
b/ Expliquer alors pourquoi, pour tout n≥0 ∅≤cn+1≤cn≤2

L'enoncer est assez long mais cetaines questions se ressemblent. J'ai commencer le DM, mais en arrivant aux questions 1/a/ pour (an), 1/b/ pour (bn) et 2/b/ pour (cn), je n'y arrivais plus mais is je comprend comment faire pour une sa sera plus simple pour les autres donc j'aimerai bien avoir un peu d'aide s'il vous plait...

Bonsoir,

1 a) correspond à l'étude des variations de la fonction f. Comment procèdes tu pour rechercher les variations d'une fonction ?

Bonsoir,

Je me suis trompé la 1 a/ j'ai reussi a la faire c'est a partir de la b/ que je n'y arrive pas.

Pour trouver les variations avant tout j'ai derivé la fonction et a partir du theoreme de Lagrange j'ai trouver les variations

Pour la question b, tu utilises le résultat de la question a.

Je montre juste dans le tableau qu la courbe passe par 3/2 et 2?

Tu analyses le domaine sur lequel varie la fonction f si x varie sur l'intervalle [3/2 ; 2]

Ah oui c'est bon je vois comment faire, merci
Donc pour la 2/ de (bn) je m'aide aussi de la question 1/a

Bonjour,

J'ai bien avancé dans le DM, d'ailleur je l'ai bientot fini mais il me reste quelques questions qui me posent problemes... Pour la suite (an) la 3/d/ et pour la suite (bn) la 3/c/ je ne vois pas ce qu'il fait faire. Si quelqu'un pouvais m'aider s'il vous plait...

Suite an ; d) La limite l est telle que l = 1+1/l
suite bn ; écris $b_{n+1}$ - $b_n$ et multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée.

Pour la suite an je vois pas du tout comment faire...
Pour la suite bn quand on fait bn+1-bn = $b(n+1)+1−bn+1=bn+b+1−bn+1\sqrt{b(n+1)+1}-\sqrt{bn+1} = \sqrt{bn+b+1}-\sqrt{bn+1}$ ... Mais je vois pas comment sa peux faire une fraction

Pour an, j'ai fait $l=1+11+52=1+1×21+5=1+21+5=3+51+5=1+52l=1+\frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}= 1+1\times \frac{2}{1+\sqrt{5}}= 1+\frac{2}{1+\sqrt{5}}= \frac{3+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}= \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
C'est sa non?

Non, résous l'équation, x = 1 + 1/x

Je viens de le faire et je trouve aussi le nombre d'or a la fin

Oui, tu dois trouver le nombre d'or.

Ah merci.

Donc pour (bn) la question 3/c/ je fait et je refait mais j'y arrive vraiment pas. Dans mon cours a un moment j'ai : $un=nun+1−un=n+1−n=1n+1+nu_{n}=\sqrt{n} u_{n+1}-u_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
Donc j'ai essayer de faire pareil dans le dm mais je trouve pas quand meme...

Indique tes calculs.

$bn+1−bn=b(n+1)+1−bn+1=1b(n+1)+1+bn+1b_{n+1}-b_{n}=\sqrt{b(n+1)+1}-\sqrt{b_{n}+1}=\frac{1}{\sqrt{b(n+1)+1}+\sqrt{b_{n}+1}}$

Mais si je developpe $b(n+1)+1=bn+b+1\sqrt{b(n+1)+1} = \sqrt{b_{n}+b+1}$

J'ai réessayé encore et encore et sa fait que je trouver sa : $bn+1−bn=bn+1−bn=1bn+1+bnb_{n+1}-b_{n}=\sqrt{b_{n}+1}-b_{n}=\frac{1}{\sqrt{b_{n+1}}+b_{n}}$
Mais j'ai pas reussi a aller plus loin.

Si apres je multiplie le numerateur par la formule conjuguais et qu'ensuite je met au carré je trouve bon, sa marche non?

$1bn+1+bn×bn+1−bn=bn+1−bnbn+1+bn=bn+12−bn2bn+1+bn=bn+1−bn2bn+1+bn\frac{1}{\sqrt{b_{n}+1}+b_{n}}\times \sqrt{b_{n}+1}-b_{n}= \frac{\sqrt{b_{n}+1}-b_{n}}{\sqrt{b_{n}+1}+b_{n}}= \frac{\sqrt{b_{n}+1}^{2}-b_{n}^{2}}{\sqrt{b_{n}+1}+b_{n}}= \frac{b_{n}+1-b_{n}^{2}}{\sqrt{b_{n}+1}+b_{n}}$

$b$ _{n+1} $b_n$ = (√ $b_n$ +1)² $b_n$ ² /(√ $b_n$ +1) + $b_n$ )
= ....

Merci beaucoup