Calculer la primitive d'une fonction exponentielle

Bonjour, J'ai un exercice que je n'ai pas compris, pourriez-vous m'aider svp?

Après un repiquage au temps zéro, on contrôle la vitesse de croissance d'une population bactérienne. Cette vitesse varie en fonction du temps et peut s'exprimer sous la forme: y(t)= 1 + (t-1)e^(t-2).

1 Calculer la primitive N(t) de y(t) qui vaut N(0) à l'instant t=0
2 Que représente N(t)? Si N(0)=100, que vaut N(6)?
On donne e^4= 54.60 et e^-2=0.14

Merci!

Bonjour,

Il n'y a pas d'équation différentielle ici ( je change le titre )

Tu as un calcul de primitive.

Piste ,

Un primitive de 1 est t

Pour trouver une primitive de $t-1)e^{t-2}$ , tu intègres par parties.

U(t)=t-1
U'(t)=1
V' $t)=e^{t-2}$
$V(t)=e^{t-2}$

$\bigint (t-1)e^{t-2}dt=(t-1)e^{t-2}-\bigint e^{t-2}dt$

$\bigint (t-1)e^{t-2}dt=(t-1)e^{t-2}-e^{t-2}+k =(t-2)e^{t-2}+k$

$n(t)=t+(t-2)e^{t-2}+k$

Tu trouves K respectant la condition initiale.

Merci!!
Donc je trouve k= 2e^-2

Pour la 2 je ne vois pas ce que représente N(t), je sais que c'est la primitive de y(t) et y(t) correspond à la vitesse de croissance de la population bactérienne

Pour le calcul de N(6) Si N(0)= 100 je trouve K=2e^-2 +100
Mais je pense que j'ai fais une erreur..

Pour le début de la 2) , je ne vois pas d'érreur dans ta réponse.

Cela donne :

$n(t)=t+(t-2)e^{t-2}+100+2e^{-2}$

Puis $n(6)=6+4e^4+100+2e^{-2}$

L'énoncé donne les valeurs approchées à utiliser pour $e^{-2 }$ et $e^4$

D'accord merci beaucoup et puis je savoir que représente N(t), je pense que ça représente le nombre de bactérie mais je ne suis pas du tout sure.

Effectivement , vu que y(t) représente la vitesse de croissance , N(t) représente le nombre de bactéries à l'instant t .

Comme il y a eu un "repiquage au temps zéro" , N(t) dépend forcément de la valeur N(0) .

Merci!

C'était avec plaisir !