Calculer la primitive d'une fonction exponentielle


  • M

    Bonjour, J'ai un exercice que je n'ai pas compris, pourriez-vous m'aider svp?

    Après un repiquage au temps zéro, on contrôle la vitesse de croissance d'une population bactérienne. Cette vitesse varie en fonction du temps et peut s'exprimer sous la forme: y(t)= 1 + (t-1)e^(t-2).

    1 Calculer la primitive N(t) de y(t) qui vaut N(0) à l'instant t=0
    2 Que représente N(t)? Si N(0)=100, que vaut N(6)?
    On donne e^4= 54.60 et e^-2=0.14

    Merci!


  • mtschoon

    Bonjour,

    Il n'y a pas d'équation différentielle ici ( je change le titre )

    Tu as un calcul de primitive.

    Piste ,

    Un primitive de 1 est t

    Pour trouver une primitive de (t−1)et−2(t-1)e^{t-2}(t1)et2 , tu intègres par parties.

    U(t)=t-1
    U'(t)=1
    V'(t)=et−2(t)=e^{t-2}(t)=et2
    V(t)=et−2V(t)=e^{t-2}V(t)=et2

    $\bigint (t-1)e^{t-2}dt=(t-1)e^{t-2}-\bigint e^{t-2}dt$

    $\bigint (t-1)e^{t-2}dt=(t-1)e^{t-2}-e^{t-2}+k =(t-2)e^{t-2}+k$

    n(t)=t+(t−2)et−2+kn(t)=t+(t-2)e^{t-2}+kn(t)=t+(t2)et2+k

    Tu trouves K respectant la condition initiale.


  • M

    Merci!!
    Donc je trouve k= 2e^-2

    Pour la 2 je ne vois pas ce que représente N(t), je sais que c'est la primitive de y(t) et y(t) correspond à la vitesse de croissance de la population bactérienne


  • M

    Pour le calcul de N(6) Si N(0)= 100 je trouve K=2e^-2 +100
    Mais je pense que j'ai fais une erreur..


  • mtschoon

    Pour le début de la 2) , je ne vois pas d'érreur dans ta réponse.

    Cela donne :

    n(t)=t+(t−2)et−2+100+2e−2n(t)=t+(t-2)e^{t-2}+100+2e^{-2}n(t)=t+(t2)et2+100+2e2

    Puisn(6)=6+4e4+100+2e−2n(6)=6+4e^4+100+2e^{-2}n(6)=6+4e4+100+2e2

    L'énoncé donne les valeurs approchées à utiliser pour e−2e^{-2 }e2et e4e^4e4


  • M

    D'accord merci beaucoup et puis je savoir que représente N(t), je pense que ça représente le nombre de bactérie mais je ne suis pas du tout sure.


  • mtschoon

    Effectivement , vu que y(t) représente la vitesse de croissance , N(t) représente le nombre de bactéries à l'instant t .

    Comme il y a eu un "repiquage au temps zéro" , N(t) dépend forcément de la valeur N(0) .


  • M

    Merci!


  • mtschoon

    C'était avec plaisir !


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