Calculs de primitives de fonctions quotient, sinus et racine

Bonjour a vous !

Après un contrôle surprise moyennement réussi , et l'approche d'un DS de 4H , j'ai décidé de revoir les erreur commises afin de ne plus les reproduire.
Problème : Il y a 3 primitives que je n'arrive pas a résoudre , malgré la correction :

° $−5x(x2+1)3\frac{-5x}{(x^{2}+1)^{3}}$

Dont la primitive est : $54(x2+1)2\frac{\frac{5}{4}}{(x^{2}+1)^{2}}$

° $cosx*sin^{4}x$

Dont la primitive est : $sin5x5\frac{sin^{5}x}{5}$

° $x+0,5x2+x+1\frac{x+0,5}{\sqrt{x^{2}+x+1}}$

Dont la primitive est : $x2+x+1\sqrt{x^{2}+x+1}$

Voilà , donc si vous pouviez m'expliquer comment a-t-on pu trouver le résultats , je vous en serez reconnaissant

Merci d'avance !

Bonjour,

Dans chaque cas , tu fais apparaître une primitive usuelle.

Pour la première , suivant ton cours , tu fais apparaître U' $U^n$ ou U'. $U^n$ . Tu as le choix.

$u(x)=x^2+1$
$u^{'} x) = 2 x$

$\text{\frac{-5x}{(x^2+3)^3}=-5x(x^2+3)^{-3}=\frac{-5}{2}(2x)(x^2+1)^{-3}=\frac{-5}{2}u'(x)[u(x)]^{-3}$

Tu termines en utilisant une primitive usuelle.

Pour la seconde,

U(x)=sinx
U'(x)=cosx

$\text{cosx.sin^4x=u'(x)[u(x)]^4$

Tu termines en utilisant une primitive usuelle.

Pour la troisième,

$u(x)=x^2+x+1$
$u^{'} (x) = 2 x + 1$

$\text{\frac{x+0.5}{\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}$

Tu termines en utilisant une primitive usuelle.

Bonjour, merci de prendre de votre temps pour m'aider !

J'ai compris pour la troisième et la deuxième , mais pas la 1ère...Je ne vois pas quelle primitive usuelle il faut utiliser...

Je te termine la méthode que j'avais utilisé dans mon premier message et dans lequel tu n'avais pas trouvé la primitive usuelle.

$\text{ u'(x)[u(x)]^{-3}$ a pour primitive $\text{\frac{[u(x)]^{-3+1}}{-3+1}=\frac{u(x)]^{-2}}{-2}=\frac{1}{-2[u(x)]^2}$

Tu obtiens ainsi la réponse souhaitée.

Merci pour la précision , il m'en faut juste une autre : avant de trouver la primitive , comment parvient-on a trouver -5/2U'(x)[U(x)]^-3 ?

C'est là le "truc" ...

Tu observes ce qui doit servir de U(x) : ici (x²+1)

Tu calcules sa dérivée U'(x)=2x

Tu en déduis le coefficient qu'il faut mettre

$\text{-5x(x^2+1)^{-3}=2x(x^2+1)^3 \times (\frac{-5}{2})$ car :$\text{ 2\times (\frac{-5}{2})=-5$

Ah je crois avoir compris le " truc " merci !

Donc par exemple si j'ai : 3x/(x²+1)^3 , u(x) = x²+1 , u'(x)= 2x

Donc $2x(x2+1)−3×322x(x^{2}+1)^{-3} \times \frac{3}{2}$

C'est sa ?

Oui !

Tu as compris le " truc " !

Ah super ! Je n'y serais jamais arrivé sans vous, merci !

De rien ! c'était avec plaisir !