Résoudre un problème à l'aide des suites géométriques



  • Bonjour !
    Je suis actuellement en Terminale S, et j'ai un devoir maison à rendre pour mardi. Seulement voilà, je suis dans l'impossibilité de le terminer, j'aurais besoin d'une petite piste pour savoir par où commencer mon raisonnement. Voici l'exercice :

    "La grand-mère de Youkoukoun achète tous les mois une grosse réserve de bonbons. Tous les jours Youkoukoun rend visite à sa grand-mère et par la même occasion à la réserve de bonbons. Il prend systématiquement la moitié des bonbons qui s'y trouvent, plus un pour faire la route. Surprise, au soir du 10e jour, la boîte est vide.

    1. On désigne par N le nombre de bonbons achetés par la grand-mère au début du mois et par rn le nombre de bonbons restant dans la boîte à l'aube du n-ième jour (1≤ n ≤ 11).
      a) Que vaut r1? Que vaut r11?
      b) Déterminer une relation de récurrence entre rn+1 et rn.
      c) Pour 1≤ n ≤ 11, on pose vn=rn+2 ; montrer que la suite (vn) est géométrique, et exprimer vn puis rn en fonction de N et n.
      d) En déduire la valeur de N."

    Cette partie-ci de l'exercice est comprise et terminée, l'autre en revanche pose plus de difficultés:

    "2) Le mois suivant, voyant que la provision de bonbons n'a durée que 10 jours, la grand-mère de Youkoukoun décide d'acheter davantage de bonbons. Seulement Youkoukoun a changé de technique. Le n-ième jour, il mange la moitié des bonbons... plus n, devenant chaque jour un peu plus gourmand.
    Mais surprise, au soir du 10e jour la boîte est encore vide.
    Combien de bonbons la grand-mère avait-elle acheté au début de ce mois-là?
    (Indication : On pourra redéfinir une suite (rn) par récurrence puis chercher deux nombres a et b tels que la suite de terme général vn=rn-an-b soit géométrique...)"

    Et là je ne sais pas du tout par où commencer !!! Et je ne comprends pas l'indication donnée ni comment l'utiliser ! 😕 Pourriez-vous me donner ne serait-ce qu'un indice pour me lancer dans l'exercice s'il vous plait?

    Merci d'avance de votre aide.



  • Bonjour,
    Commence par exprimer rn+1r_{n+1}rn+1 en fonction de rnr_nrn



  • Bonsoir,
    Si j'exprime rn+1r_{n+1}rn+1 en fonction de rnr_nrn, ça devrait donner:

    rn+1r_{n+1}rn+1= rnr_nrn/2 - n+1 😕

    Mais ensuite, faut-il exprimer vvvn=rn=r_n=rn-an-b en fontion de v</em>n+1v</em>{n+1}v</em>n+1? Je ne sais pas si ma question est compréhensible, je vais la formuler autrement : est-ce que je dois "faire" le quotient vvvn/v</em>n+1pourdeˊmontrerquelasuitevnestgeˊomeˊtrique(enme^metempsjetrouvelaraisondelasuite)?modifieˊpar:TitIon,07Sep2012−19:53/v</em>{n+1 pour démontrer que la suite vn est géométrique (en même temps je trouve la raison de la suite)? modifié par : TitIon, 07 Sep 2012 - 19:53 }/v</em>n+1pourdeˊmontrerquelasuitevnestgeˊomeˊtrique(enme^metempsjetrouvelaraisondelasuite)?modifieˊpar:TitIon,07Sep201219:53



  • Pourquoi -n+1 ?
    Il prend la moitié plus n bonbons, donc je pense que rn+1r_{n+1}rn+1 = rnr_nrn/2 - n
    Partant de vvvn=rn=r_n=rn-an-b, on a donc
    v</em>n+1v</em>{n+1}v</em>n+1 = rn+1r_{n+1}rn+1 -a(n+1) - b
    Dans laquelle on remplace rn+1r_{n+1}rn+1 par rnr_nrn/2 - n
    On obtient (à vérifier) :
    Vn+1V_{n+1}Vn+1 = 1/2[rn1/2[r_n1/2[rn - (2+2a)n -(2a+2b)]
    Et on voudrait une suite géométrique, donc on voudrait que le crochet soit VnV_nVn.
    Il en résulte que 2 + 2a = a et 2a + 2b = b, d'où a et b.



  • Oh d'accord !!! Merci beaucoup 😄 ça devrait aller mieux maintenant 😁



  • Au fait, non, c'est pas vraiment mieux 😁
    Avec autant d'inconnues, comment peut-on aller au delà de ce résultat ? On n'a ni a ni b ni rnr_nrn :frowning2:

    J'ai calculé vvv_{n+1}/vn/v_n/vn sauf que sur 3 termes j'ai... 3 inconnues, est-ce que je fais fausse route?



  • Citation
    Il en résulte que 2 + 2a = a et 2a + 2b = b, d'où a et b.Donc a = -2 et b = 4.
    Avec Vn+1V_{n+1}Vn+1 = 1/2 VnV_nVn
    Tu exprimes donc (comme dans la première partie) VnV_nVn en fonction de n, puis rnr_nrn en fonction de n.
    Tu exprimes alors le fait que r11r_{11}r11 = 0 pour trouver N.



  • Merci beaucoup pour votre aide 😄



  • De rien.
    Bon courage.


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