Vrai ou faux (suite)

Bonjour,

On donnera une démonstration quand c'est vraie et un contre exemple quand c'est faux.

a) Pour tous entiers m et n ∈ N*, m! x n! = (m+n)!
b) Pour tous entier n ∈ N*, n! x (n+1)= (n+1)!
c) Pour tous entier n ∈ N*, n! x (n+2) = (n+2)!
d) Pour tous entier n ∈ N*, (n+1)! >(ou égale) 2xn!
Soit n un entier. Montrer qu'à partir d'une certaine valeur de n qu'on précisera, on a n! > 2^n
Soit n ∈ N* Prouver l'égalité suivante :

n
Σ k x k! = (n+1)! -1
k=1

Avec la reprise je suis totalement perdu merci de votre aide.

Bonjour Ayans,

Commence par vérifier si l'expression est vraie pour des valeurs simples de m et n.

Salut le problème c'est que les '!' me disent rien

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
n ! = n x (n-1) x (n-2) x ..... x 1

tu peux m'aider pour le a et je fais le reste stp

Pour le a)
si m = 1 et n = 2 ;
1! x 2! = 2
et
(1+2)! = 3! = 3 x 2 = 6
2 différent de 6 donc relation fausse

Merci de ton aide je fais le reste et je te le montre

b)

si n = 2

n! x (n+1)= (n+1)
= 2! x 1! x 3 = 3! x 2!
= 6 = 6 donc vrai

c)

si n = 2

n! x (n+2) = (n+2)!
= 2! x 1! x 4 = 4! x 3! x 2!
= 8 = 24 donc fausses

d)

si n = 2

(n+1)! >(ou égale) 2x n!
3! x 2! >(ou égale) 2 x 2!
6 >(ou égale) 4 donc vrai

c'est bon ?

Attention à l'écriture :
si n = 2

n! x (n+1)= (n+1)!
= 2 x 1 x 3 = 3 x 2
= 6 = 6 donc vrai

Chaque fois que la relation est vérifiée, tu dois faire une démonstration, un exemple n'est pas suffisant.

Démonstration ? je vois pas quoi faire

Utilise la définition de factorielle
n! = n x (n-1) x ..... x 2 x 1
(n+1) ! = ......

j'ai un exercice de ce type je vais essayé de t'aider aussi

Merci Piet et Noemi tu peux faire la démo pour la 1 et je fais pour le reste comme hier stp

la définition de factorielle
n! = n x (n-1) x ..... x 2 x 1
(n+1) ! = (n+1) x n x (n-1) x .... x 2 x 1
et
(n+1) x n! = (n+1) x n x(n-1) x .... x 2 x 1
= .....

je vois pas trop (n+1) et (n+1) x n c'est pareil ?

(n+1)! = (n+1) x n!

après = c'est quoi car je vois pas trop stp

n! = n x (n-1) x ..... x 2 x 1
(n+1) ! = (n+1) x n x (n-1) x .... x 2 x 1
et
(n+1) x n! = (n+1) x n x(n-1) x .... x 2 x 1
= (n+1)!

c'est pour la a ? merci de ton aide

C'est le b)
Il te reste le d) à démontrer compare n+1 et 2.

(n+2) x n! = (n+2) x n x(n+1) x n x (n-1) x n .... x 2 x 1
= (n+2)!

pour la c ?

Non l'égalité indiquée au c) est fausse tu as donné un contre exemple.
Cherche le d)

Noemi tu peux aller faire un tour dans mon topic stp ^^

(n+1) ! = (n+1) x n x (n-1) x .... x 2 x 1
et
2 x n! = 2 x n x (n-1) x ... x 2 x 1
= (n+1)!

?

Non
(n+1)! = (n+1) x n!
donc tu compares (n+1)Xn! et 2 x n8
soit n+1 et 2
si n ≥1, alors n+1 ≥2, donc l'inégalité est juste.

Ah ok merci et pour la a et c pas besoin vu que c'est faux ?

Oui

Merci

et pour la 2 j'ai fais sa :

n! > 2^n
n x ... x 1 > 2^n
( n x ... x 1 ) / n > 2

Donc a partir de 2 ?

n! > $2^n$
Si n = 2 ; 2 x 1 < 2 x 2
si n = 3 : 3 x 2 < 2 x 2 x 2
si n = 4 ; 4 x 3 x 2 > 2 x 2 x 2 x 2

Ah oui j'avais pas penser a sa ^^ donc pas d'équation chelou à faire pour trouver le n ?

Non, juste indiquer la valeur de n.

J'avais essayé pour la 2 une équation en isolant le n et tout merci de ta méthode noémi

Par contre noemi sur la 3 je beug avec l'expréssion je comprend plus cet expression

Le terme de gauche : 1 + 2 x 2! + 3x 3! + .... + n x n!

Démonstration par récurrence ?

n
Σ k x k! = (n+1)! -1
k=1

1 + 2 x 2! + 3x 3! + .... + n x n! = (n+1)! -1
14 + n x n! = n - 1

la dernière ligne est fausse.
Connais tu la démonstration par récurrence ?

Oui on a commencé a le voir

Donc appliques ce type de raisonnement.

n
Σ k x k! = (n+1)! -1
k=1

si n = 1

(1+1)! -1

2 - 1 = 1 donc la solution est vraie ? j'ai pas fait ce chapitre mais si sa t'aide ayans

C'est bon ce qu'il a fait noemi ? car je pense qu'il a oublié le k x k