Suite arithmétiques et géométriques

Bonjour à tous
J'aurai besoin d'une petite aide dans l'exercice suivant, car je suis bloquée à la question 4a) et je me demande d'ailleurs si mes résultats précédents sont exacts.
L'énoncé est le suivant :

Une personne décide de verser le 1er janvier de chaque année la somme de 500 euros sur un compte rémunérer, à intérêts composés, au taux de 4% de l'an. Il effectue son premier versement le 1er janviers 2012.
On note $u_n$ la somme dont il dispose le 1er janvier (2012+n) après le versement des 500 euros.

Préciser $u_0$ , puis calculer $u_1$ et $u_2$
Montrer que pour tout entier naturel n, $u_{n+1}$ = 1, $04u_n$ +500
La suite $u_n$ ) est-elle arthmétique? géométrique?
Pour tout entier naturel n, on pose $v_n$ = $u_n$ +12 500
a) Montrer que la suite $v_n$ ) est géométrique.
b) Déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de n
Calculer la somme dont disposera cette personne le 1er Janvier 2020 après son versement des 500 euros.

Alors pour la question 1: j'ai trouvé que $u_0$ = 500
Pour $u_1$ j'ai trouvé: 500 + (5004/100) + 500 = 1020
Pour $u_2$ j'ai trouvé: 1020 + (10204/100) + 500 = 1560,8

Est-ce juste ? Ou ai-je déjà une erreur ?

Pour la 2, j'ai mis que pour tout entier naturel n,
$u$ _{n+1} $= u$ n $4/100*u_n$ ) + 500
d'où $u</em>{u+1}$ = $u_n$ +0, $4u_n$ +500=1, $04u_n$ + 500

Si une suite est arithmétique on a :
$u_{n+1}$ = $u_n$ +r ⇔ $u$ _{n+1} $u_n$ =r
Or: $u$ _1$_u_0$= 1020-500 = 520
et $u$ 2 $u_1$ = 1560,8-1020= 540,8
La différence entre 2 termes consécutifs n'étant pas constance, la suite n'est pas arithmétique.
En revanche on remarque que la suite $u_n$ ) est de forme :
$u</em>{n+1}$ = q * $u_n$ avec q = 1,04
La suite $u_n$ ) est donc bien géométrique de raison 1,04 et de premier terme 500.

Est ce que cela est juste ?

C'est ici que je bloque. Tout d'abord je ne comprends pas très bien ce que représente $v_n$ . De plus puisque que la suite $v_n$ ) est composé de la suite $u_n$ ) elle -même géométrique, n'est - elle pas obligatoirement géométrique?

Je souhaiterai quelques précisions, car j'ai la vague impression de faire route. :frowning2:
Merci d'avance

Bonjour Gloupi,

C'est faux à partir de la suite Un est géométrique car elle n'est pas géométrique.

4 a) Compare Vn+1 et Vn

Effectivement, quand j'essaie de prouver que le quotient de
$u_{n+1}$ / $u_n$ il n'est jamais constant
Cela veut donc dire que la suite n'est ni arithmétique ni géométrique ?

Et je fais essayer de comparer Vn+1 avec Vn
Je vous tiens au courant de mes résultats

Merci

Oui, la suite Un n'est ni arithmétique, ni géométrique.

Est - il normal que j'arrive au résultat suivant:

$v_{n+1}$ - $v_n$ = $u_{n+1}$ $u_n$ ?

Exprime Vn+1 en fonction de Un,
puis de Vn

$v_{n+1}$ = $u_{n+1}$ + 12500 ?

Oui
Remplace Un+1 en fonction de Un,
puis factorise 1,04

Est ce que cela donne:
$v_{n+1}$ = 1,04 $u_n$ + 12500) ?

Oui,
Donc Vn+1 = ..... Vn
....

Donc $v_{n+1}$ = 1,04 $v_n$
La suite $v_n$ ) est donc bien géométrique et de raison 1,04
C'est juste ?

Pour le b)
Je trouve que
$v_n$ =12500 * 1, $04^n$
Mais je ne suis pas sure de la valeur de $v_0$
Ce dernier est il égal à 12500 ou à 13000.
Si il est égal à 1300 on aura donc: $v_n$ = 1300 * 1, $04^n$

Ensuite je trouve que
$u_n$ = 500 * 1, $04^n$ + 500

Cela est-il juste ?

Merci d'avance !

4 a) juste
Pour le b) v0 = u0 + 12500, donc v0 = .....

Rectifie vn et un

J'obtiens donc :
$v_0$ = $u_0$ + 12500 = 500 + 12500 = 13000
D'où $v_n$ = 13000 * 1, $04^n$
C'est cela ?

Et pour $u_n$ en fonction de n
Je peux dire que :
$v_n$ = $u_n$ + 12500
Donc que $u_n$ = $v_n$ - 12500
D'où $u_n$ = 13000 * 1, $04^n$ - 12500

Est ce que je fais fausse route ? :rolling_eyes:

C'est juste.

Super

Du coup, pour la dernière question:
Est-ce juste si je fais :
2019 = $u_7$
$u_7$ = 13000 * 1, $04^7$ -12500 = 4607,11313
A cela on ajoute le versement effectué le 1er janvier 2020
Ce qui donne: 4607,11313 + 500 = 5107, 11313

Le raisonnement est juste, vérifie ton calcul.

J'ai beau refaire le calcul, je retrouve toujours le même résultat
Qu'est ce qui ne va pas dans mon calcul ? :rolling_eyes:

Désolé, c'est moi qui ai fait une erreur de calcul.
Ton résultat est juste.

D'accord !
Merci pour tout, grâce à vous j'ai réussi cet exercice !