Raisonnement par récurrence, hérédité


  • T

    Bonjour !
    Je cherche à comprendre comment fonctionne un raisonnement par récurrence... J'arrive à initialiser mais je n'arrive pas à démontrer l'hérédité de la suite :frowning2:
    Je ne comprends pas vraiment le principe 😕

    Par exemple : On considère la suite (un(u_n(un) définie par u0u_0u0=1 et pour tout entier naturel n,
    uuu_{n+1}=un=u_n=un+2n+1

    Il faut démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, unu_nun≥n².

    Initialisation : Montrons que P1P_1P1 est vraie.

    on a u0u_0u0=1 et uuu_{n+1}=un=u_n=un+2n+1

    Donc u1u_1u1=0+2*0+1=1 et n²=1²=1
    u1u_1u1≥1² donc P1P_1P1 est vraie.

    Ai-je fait ce qu'il fallait?

    L'hérédité est une autre histoire : Supposons que PKP_KPK soit vraie pour un certain K.
    Je ne sais pas quel objectif atteindre... Est-ce que je dois montrer que uK+1u_{K+1}uK+1≥(K+1)²?

    Auriez-vous une méthode pour savoir démontrer par récurrence?

    Merci par avance


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir TitIon

    Oui c'est cette inégalité qu'il faut démontrer.

    uk+1u_{k+1}uk+1 = uku_kuk + 2k + 1
    ≥ k² + 2k + 1
    ≥ ....


  • T

    uk+1u_{k+1}uk+1
    ≥k²+2k+1
    ≥(K+1)²

    Je ne comprends pas vraiment le principe d'un raisonnement par récurrence et encore moins lorsqu'il faut montrer que unu_nun est compris entre 0 et 1 par exemple... dans ce cas l'hérédité a-t-elle vraiment sa place dans le raisonnement? Je ne comprends pas vraiment pourquoi on utiliserait un+1u_{n+1}un+1 .... :frowning2:


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