Exercices sur les suites

Bonjour, j'ai quelques problèmes a résoudre mes exercices de mon DM.. même pas une petite piste. Pourriez-vous m'aider, me guider?

Voici mes énoncés.

I) Pour tout réel x différent de 0 et de -, on définit la fonction f par f(x)= 1/(x+1)x

Vérifier que pour tout réel x différent de 0 et de -1, f(x)= (1/x)-(1/(x+1))
u est la suite définie pour tout entier naturel n≥1 par Un=f(n).
Déterminer la limite de la suite u lorsque n tend vers +oo
On pose pour tout entier naturel n≥1 , Sn=u1+u2+...+Un
a) montrer que Sn=n/(n+1)
b) montrer que la suite (Sn) converge vers 1.

II) Soit la suite Un définie sur N par : Uo=1 et Un+1 = Un/(1+Un)
On admettera que tous les termes de la suite u sont strictement positifs.

Calculer à la main les quatres premiers de la suite u.
(ici j'ai trouvé U1=0.5, U2=0.33, U3=0.248, pouvez vous me dire si c'est correct?)
Ecrire un algorithme donnat les 50 premiers termes de la suite u. Donner alos une valeur aprochée de U50.
Que peut on conjecturer sur les variations de la suite u? Le démontrer.
Soit v la suite définie sur N par Vn=1/Un.
a) Calculer les quatre premiers termes de la suite v.
(si mes resultats sont bons pour la question 1 alors je propose : V0=1, V1=2, V2=3.03, V3=4.03)
b) Que peut on conjecturer sur la nature de la suite v? Le démontrer.
c) Exprimer Vn en fonction de n.
d) Exprimer Un en fonction de n. Retrouver alors les resultats de la question 1. Donner la valeur exacte de U50.

Merci d'avance de votre aide !

Bonsoir zeturf,

Réduis au même dénominateur.
lim de 1/x² quand x tend vers ∞

j'essaye de développé le denominateur de 1/(x+1)x, mais cela ne mene a rien : 1/(x+1)x = 1/x²+x et je n'arrive pas a continué

Et pour le 2, je propose Lim de 1/x² = 0 car quand n tend vers l'infini, f(x) tend vers 0 ?

Pour le 1 réduis au même dénominateur 1/x - 1/(x+1)
Pour la limite, si x tend vers ∞, f(x) tend vers ....

Pour le 1, je trouve (1/x)-1/(x+1)=((1+1)/x)-1/(x+1)= 1/(x+1) ..
mh si x tend vers +oo, f(x) tend vers 0 ?

S'il vous plait pouvez vous m'aider..?

1/x - 1/(x+1) =
[(x+1) - x ]/x(x+1) =
....

simplifie

= 1/[x(x+1)] ! et pour la deuxième, j'ai bon? quand x tend vers l'infini, f(x) tend vers 0 ?

Oui la limite est 0.

Tu es en quelle classe 3 éme ou Terminale S ?

Terminal S, mais mon petit frère est en 3e, c'est lui qui poste sur le forum 3e! Merci pour la réponse 2. Pouvez vous me donner une piste pour la 3?

Commence par écrire Sn puis simplifie.

Je ne sais pas quoi marquer pour le simplifier.. Sn=n/(n+1)=.. ? :s

?

Sn = u1 + u2 + ...+ un
= (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ......

puis simplifie

Sincèrement.. je ne comprend pas bien

Sincèrement.. je ne comprend pas bien

Il faut compléter :

Sn = u1 + u2 + ...+ un
= (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ......+ (1/n - 1/(n+1))

si tu analyses la somme, tu dois voir qu'il reste que le premier et le dernier terme
Soit Sn = 1 - 1/(n+1)
si tu réduis au même dénominateur
Sn = n/(n+1)

quand j'essaye de simplifier le premier terme je trouve : (1/1 - 1/2) = (2/2 - 1/2)= 1/2.. ça ne va pas

Il ne faut pas simplifier chaque terme, mais la somme
Sn = u1 + u2 + ...+ un
= (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) +(1/3 - 1/4)+ ......+ (1/n - 1/(n+1))

1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 + ..... + 1/n - 1/(n+1)
tu t'aperçois que le deuxième + le troisième terme = 0
le quatrième terme + le cinquième terme = 0
......
Il reste le premier et le dernier terme.

enfin! je pense avoir trouvé : 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 + ..... + 1/n - 1/(n+1) = 1-[1/(n+1)] = 1/1 - 1/(n+1) = (1+n)/(1+n) - 1/(n+1) = n/(1+n)= Sn

C'est correct.

Merci beaucoup ! et pour montrer que la suite Sn convege vers 1 que peut on dire?

Calcule la limite de la suite .

Donc on peut dire que la suite converge vers 1 car Lim U = 0 ?

ah non, on peut dire que la suite converge vers 1 car Lim Sn=1 quand n tend vers l'infini?

Oui

Pour la question 1 de l'exercice 2, j'ai trouvé que Uo=1 , U1=Uo+1=1/2 , U2=U1+1=1/3, U3=U2+1=1/4, c'est correct?

C'est correct.

Par contre pour écrire un algorithme donnant les 50 premiers termes de la suite u, pourriez vous me guider?

Propose tes éléments de réponse.

Un= Uo+n*r ?

C'est un algorithme qu'il faut écrire.
un exemple :
Si on pose u0 = A
Saisir A,
Saisir n
Pour i variant de 1 à n
A prend la valeur A/(1+A)
fin pour
Afficher A

Si on pose Uo=A
Saisir A
Saisir n
Pour U variant de 1 a n
A prend la valeur Un/(1+Un)
End
Afficher A

?

Teste ton programme.

Exercices sur les suites

Il ne faut pas simplifier chaque terme, mais la somme Sn = u1 + u2 + ...+ un = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) +(1/3 - 1/4)+ ......+ (1/n - 1/(n+1))

Il ne faut pas simplifier chaque terme, mais la somme
Sn = u1 + u2 + ...+ un
= (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) +(1/3 - 1/4)+ ......+ (1/n - 1/(n+1))