Raisonnement par récurrence, calcul

Bonjour, j'ai un exercice à faire sur le raisonnement par récurrence et je bloque au niveau du calcul :

On considère la suite u definie sur IN par U0=3 et pour tout entier n,
U(n+1) = 3Un +2
Démontrer que pour tout entier n : Un = 4 * 3^n -1

J'ai fait :

Initialisation :
U0 = 4 * 3^0 -1 = 3
La propriété est vraie au rang 0
Hérédité
Supposons que la propriété est vraie au rang p (c'est à dire Up = 4 * 3^p -1)
Montrons alors qu'elle est vraie au rang p+1 (càd U(p+1) = 4 * 3^(p+1) -1 )

J'ai commencé a faire le calcul :
Up = 4 * 3^p -1

Et je sais que je doit arriver à ça :
⇔ 3Up +2 = 4 * 3^(p+1) -1
⇔ U(p+1) = 4 * 3^(p+1) -1

J'ai pensé à multiplier par 3 puis a ajouter 2 ce qui donnerai ça :
3Up = 4 * 3^p -1*3
⇔ 3Up = 4 * 3^p -3
⇔ 3UP +2 = 4 * 3^p -1
mais je n'arrive toujours pas au bon résultat

Et je fini le raisonnement de cette manière :
La propriété est vraie au rang p+1 si elle est vraie au rang p
Donc elle est héréditaire

Conclusion
pour tout n de IN : Un = 4 * 3^n -1

Bonsoir audrey0101010

L'erreur : oublie de parenthèses
3Up = (4 * 3^p -1)*3
⇔ 3Up = 4 * 3^p+1 -3
⇔ 3Up +2 = 4 * 3^p+1 -1