Raisonnement par récurrence, calcul


  • A

    Bonjour, j'ai un exercice à faire sur le raisonnement par récurrence et je bloque au niveau du calcul :

    On considère la suite u definie sur IN par U0=3 et pour tout entier n,
    U(n+1) = 3Un +2
    Démontrer que pour tout entier n : Un = 4 * 3^n -1

    J'ai fait :

    • Initialisation :
      U0 = 4 * 3^0 -1 = 3
      La propriété est vraie au rang 0

    • Hérédité
      Supposons que la propriété est vraie au rang p (c'est à dire Up = 4 * 3^p -1)
      Montrons alors qu'elle est vraie au rang p+1 (càd U(p+1) = 4 * 3^(p+1) -1 )

    J'ai commencé a faire le calcul :
    Up = 4 * 3^p -1

    Et je sais que je doit arriver à ça :
    ⇔ 3Up +2 = 4 * 3^(p+1) -1
    ⇔ U(p+1) = 4 * 3^(p+1) -1

    J'ai pensé à multiplier par 3 puis a ajouter 2 ce qui donnerai ça :
    3Up = 4 * 3^p -1*3
    ⇔ 3Up = 4 * 3^p -3
    ⇔ 3UP +2 = 4 * 3^p -1
    mais je n'arrive toujours pas au bon résultat

    Et je fini le raisonnement de cette manière :
    La propriété est vraie au rang p+1 si elle est vraie au rang p
    Donc elle est héréditaire

    • Conclusion
      pour tout n de IN : Un = 4 * 3^n -1

  • N
    Modérateurs

    Bonsoir audrey0101010

    L'erreur : oublie de parenthèses
    3Up = (4 * 3^p -1)*3
    ⇔ 3Up = 4 * 3^p+1 -3
    ⇔ 3Up +2 = 4 * 3^p+1 -1


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