Exercice Récurrence


  • D

    on consière la suite u définie par u0u_0u0=0, u1u_1u1=1 et pour tout entier n≥1 : uuu_{n+1}=4u=4u=4un−3u</em>n−1-3u</em>{n-1}3u</em>n1
    Démontrer par récurrence que pour tout entier n :
    uuu_n=(3n=(3^n=(3n-1)/2

    Je suis un peu perdu avec les deux unu_nun et un−1u_{n-1}un1, si vous pouvez me donner quelques pistes, merci d'avance.


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir Darkrai,

    Indique tes calculs.


  • D

    Le problème c'est que je n'arrive pas a démarrer au niveau de l'hérédité, initialisation je le fais sans problème.


  • N
    Modérateurs

    A partir de :
    uuu{n+1}=4u=4u=4un−3u</em>n−1-3u</em>{n-1}3u</em>n1
    écris u</em>n+1u</em>{n+1}u</em>n+1 en fonction de n.


  • D

    uuu_{n+1}=4u=4u=4u_n+1−3un+1-3u_n+13un


  • mtschoon

    Bonjour,

    Bizarre , ta dernière réponse...

    Un petit coup de pouce de plus, si besoin

    Vu l'énoncé , tu peux faire une récurrence double

    Initialisation:

    U0U_0U0=0 et U1U_1U1=1 donc UUU_2=4U=4U=4U_0−3U1-3U_13U1=...=4

    Tu calcules U2U_2U2 avec la formule à démontrer pour vérifier qu'elle est valable pour n=2

    Transmission :

    Tu supposes $\text { u_{n-1}=\frac{3^{n-1}-1}{2} et u_n=\frac{3^n-1}{2}$

    Tu démontres que $\text{ u_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}$

    Départ de la démonstration :

    $\text{ u_{n+1}=4u_n-3u_{n-1}=....................$


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