Etudier le signe, la convergence et la limite d'une suite

Bonsoir à tous !

Je suis complètement bloquée dès le début du deuxième exercice de mon DM et j'aurai bien besoin d'un petit coup de pouce...

Voici l'énoncé :

En Alsace, on dénombre 270 pies bavardes sur 60km². Nous allons modéliser l'évolution à long terme de cette population. On admet que le milieu ne permet pas d'avoir plus de 1.000 individus et on note $p_n$ le rapport $P_n$ = $pn1000\frac{pn}{1000}$ où $P_n$ désigne la population au bout de n années. On a donc $p_0$ =0.27.

On choisit le modèle suivant : ∀n≥0, $p$ _{n+1} $= r p$ _n $1-p_n$ ) où r est une constante, r>0 interprétée comme le facteur de croissance de la population.

1) On a représenté ci-dessous pour deux valeurs de r, la fonction f(x)=rx(1-x) et la droite d'équation y=x. Émettre des conjectures sur l'évolution de la population dans chaque cas.

2) Étude pour 0<r<1.
a. Montrer par récurrence que pour tout n dans $mathbb{N}$ , $p_n$ ≤ $r^n$ .
b. En déduire la limite de la suite $p_n$ ).
Conclure quand à l'évolution de la population pour 0<r<1.

[b]3)[/b] Étude pour r=1.
a. Montrer que ∀n de $mathbb{N}$ , 0≤ $p_n$ ≤1.
b. Etudier le signe de $p$ _{n+1} $p_n$ pour tout n de $mathbb{N}$ .
c. En déduire que $p_n$ ) converge. Soit l sa limite.

4) Étude pour 1<r≤2.
a. Montrer que la suite $p_n$ ) converge et déterminer sa limite.
b. Interpréter en termes d'évolution de la population.

Alors! Je ne comprends pas du tout les deux courbes. Je ne comprends pas pourquoi elle augmente de 0 à 0.5 et décroit de 0.5 à 1 et ce quelle que soit la valeur de r.

Pour la question 2)a. j'ai trouvé que $p_n$ =0.27×1, $1^n$ mais je n'arrive pas à m'en sortir pour démontrer par récurrence...
Je crois en revanche avoir réussi la question 2)b. en utilisant le théorème des gendarmes, je trouve :

On sait que $lim⁡n→∞\lim_{n\rightarrow \infty }$ $r^n$ =0 quand 0<r<1.
De plus $p_n$ ≤ $r^n$ d'où, d'après le théorème des gendarmes $lim⁡n→∞\lim_{n\rightarrow \infty }$ $p_n$ =0.

Est-ce juste ?

Merci à tous et bon week-end à vous !

Sans vouloir paraître envahissante :frowning2: , est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer s'il vous plait ?

J'ai essayé de faire les questions suivantes, mais je trouve que des résultats très étranges. Par exemple, pour la question 3b, je trouve que le signe de $p$ _{n+1} $p_n$ = -0, $27(1-p_n$ ) $^n$ donc que le signe est négatif & par conséquent que la suite est décroissante.

Merci d'avance

Bonjour Gloupi,

Pour l'allure des courbes c'est une fonction carré, le maximum est atteint pour .....

Indique tes calculs pour la récurrence et la limite.

Bah comment ça peut etre une fonction carré ? théoriquement la fonction carrée est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[ ?! et la c'est l'inverse dont l'une a un maximum de 0.5 et l'autre de 0.25 ..

et la lim pour n tends vers +∞ je trouve 0... probleme ?!

Et le cas ou le coefficient de x² est négatif ?

La limite est bien 0.

Oui mais ou le montrer que le coefficient de x² est negatif ?!

Le coefficient est -r et r > 0, donc .....

-r ?! mais c'est marqué ou? moi j'ai r >0

donc -r > 0 ?! c'est ca ?!

r compris entre 0 et 1, donc r >0 et -r < 0.

Svp je galere pour la recurrence, je suis dans les inéquations et impossible de me debrouiller !...

je n'arrive pas a l'inequation finale de pn≤r^n
le mieux que j'arrive a faire c'est rpk≤r^(k+1) et Pk+1≤0 et encore je suis pas sur ... svp ....

Ecris $p_{k+1}$ en utilisant la relation, puis l'inégalité.
Indique tes calculs.

pk+1 doit etre inferieur a $r^{k+1}$

j'ai dit que si $p_k$ ≤ $r^k$ , alors
$rp_k$ ≤ $r^{k+1}$

d'autre part $P_k$ ≤ $r^k$ <1 d'ou
$P_k$ <1 et $1-p_k$ >0
donc rpk $1-p_k$ )>0 donc $p_{k+1}$ >0

mais je suis perdu ... aidez moi !

?