Construire des points dans le plan complexe

Bonjours,
Voici un exercice difficile pour ma part où je n'y arrive pas n(merci d'avance pour votre aide):

On considère la transformation f du plan complexe dans lui-même qui a tout point M d'affixe z, fait correspondre le point M' d'affixe z' définie par z'= $2z1+zzˉ\frac{2z}{1+z\bar{z}}$

soient les points A d'affixe a=i, B d'affixe b=2-i et c d'affixe c= $2−i5\frac{2-i}{\sqrt{5}}$ .
On note a', b', c' les affixes de A', B' et C', images respectives par f des points A,B et C. Calculer a', b' et c'
On appelle point invariant par f tout point M du plan qui est sa propre image, c'est-à-dire vérifiant f(M)=M ce qui équivaut à z'=z.
a) Déterminer les nombres complexes z qui vérifient z'=z
b) En déduire et construire l'ensemble des points invariants par f.

Pour la première question je trouve a'=i, b'= $2−2i3\frac{2-2i}{3}$ et c'= $4−2i25\frac{4-2i}{2\sqrt{5}}$

Au 2) j'ai commencé:
z'= $2(x+iy)1+(x+iy)(x−iy)\frac{2(x+iy)}{1+(x+iy)(x-iy)}$
z'= $2x+2iy1+x2+y2\frac{2x+2iy}{1+x^{2}+y^{2}}$
A partir de là je ne vois pas comment faire après.

Bonsoir yoyo06,

Simplifie l'expression $z=2z1+zzˉz=\frac{2z}{1+z\bar{z}}$

Cela revient exactement au même point ou j'en suis quand on remplace $zˉ\bar{z}$ par x-iy.
Je pensais aussi qu'on pouvait pas simplifier quand elle est sous cette forme non ? je suis un peu perdue

Si tu simplifies, cela revient à résoudre :
$1+zzˉ=21+z\bar{z} = 2$
soit
$zzˉ=1z\bar{z}=1$

Je vois pas trop comme votre obtient ta simplification de
$z′=2z1+zzˉz'=\frac{2z}{1+z\bar{z}}$
On doit multiplier par l'inverse pour trouver ce que vous avez fait.

J'ai juste remplacer z' par z, puis diviser par z.

Du coup pour la 2)a) je trouve x=1 et y=0.

Tu as trouvé une solution, et les autres ?

Comment ça les autres ? il y a plusieurs solutions pour la 2)a).
J'ai remplacé x et y par ce que j'ai trouvé et j'obtient z'=1. Je pense du coup que pour que z'=z il faudrait que z=1 ou 0. Non ?

Cherche les solutions de l'équation x² + y² = 1

Je suis bloqué je n'y arrive pas .
x²+y²=1
x²=1-y²
x=1-y
Après je remplace x par ce que j'ai trouvé
(1-y)²+y²=1
1-2y+y²+y²=1
1-2y+2y²=1
2y²-2y=0
Même si je continue je reviens toujours à 2y²+2y