Démonstration par récurrence.



  • Bonjour,

    J'ai un exercice où je n'arrive pas à démontrer par récurrence.

    Soit (Un(U_n) la suite définie par U1U_1= 5/2 et, pour tout n>0 ; Un+1U_{n+1} = (5Un(5U_n- 4 ) / ( 2Un2U_n - 1 )

    a) Démontrer par récurrence que pour tout entier n > 0, UnU_n = 2+ 1/ 3n3^n - 1

    J'ai commencé par l'initialisation : U1U_1 = 2 + 1/ 313_1 - 1 = 5/2

    Et ensuite, l'hérédité : Supposons que .... UnU_n 2+ 1/3n1/3^n - 1
    Montrons que ..... Un+1U_{n+1} = 2 + 1/3n+11/3^{n+1} - 1

    Et après j'ai repris Un+1U_{n+1} du début, et j'ai remplacé dedans UnU_n mais je n'arrive pas à avoir ce que je veux.

    Si vous pouviez m'aider, ça serait vraiment gentil. 🙂


  • Modérateurs

    Bonjour Sol19,

    La méthode est correcte, indique tes calculs.



  • Bonjour Noemi,

    Voici mes calculs :

    Je remplace UnU_n dans Un+1U_{n+1}

    ( 5* ( 2+1/3n2+1/3^n -1 ) - 4) / ( 2* ( 2+1/3n2+1/3^n -1) - 1 )
    = ( 6 + (5/3n(5/3_n -1 ) / ( 3 +( 2/ 3n3^n-1 )
    On met tout sous le même dénominateur, et ensuite, on peut inverser.

    ça donne : (6(3n(6(3^n-1) +5 ) / ( 3(3n3(3^n-1) +2)

    Et après je ne sais pas quoi faire. Parce que si je développe, ça donne : (18n(18^n-1) / (9n(9^n-1)


  • Modérateurs

    Quelle est l'écriture de Un ?
    (2+1/3)n(2+1/3)^n - 1 ?
    6 <em>3n<em>3^n n'est pas égal à 18n18^n
    mais à 2</em>3<em>3n2</em>3<em>3^n = 2</em>3n+12</em>3^{n+1}



  • UnU_n = 2 + 1/(3n1/(3^n- 1 )



  • UnU_n = 2 + 1/(3n1/(3^n- 1 )


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