1ere S minimum d'une fonction

Bonjour à tous alors voilà je vous explique je doit faire un exercice de Maths et je me suis penché dessus depuis hier, c'est pour vendredi. Comprenez bien que le but ici n'est pas pour moi que vous me donniez la réponse enfin si bien sur moi le plus important est de l'expliquer.Merci.

Soit f(x)=x+16/x pour tout x > 0
1)Démontrer que, pour tout x>0, f(x) est > ou = 8
2)Quel est le minimum de f sur ]0;+∞[

Merci de votre aide!

Bonsoir BlackiStorm72,

Etudie les variations de la fonction.

justement je ne vois pas comment faire ce type de fonction avec x en dénominateur m'est hostile

Bonjour,

Je regarde ton interrogation , en attendant queNoemisoit là.

Si tu ne sais pas encore comment étudier ce type de fonction , essaie de t'y prendre autrement avec les identités remarquables.

Pour x > 0 , avec des équivalences logiques :

$\ge 8 \longleftrightarrow x+\frac{16}{x} \ge 8 \longleftrightarrow \frac{x^2+16}{x} \ge 8 \longleftrightarrow x^2+16\ge 8x \longleftrightarrow x^2+16-8x\ge 0\longleftrightarrow (x-4)^2\ge 0$

Un carré étant positif , la dernière inégalité est vraie donc , par équivalences logiques , la première l'est aussi.

Le minimum d'un carré étant 0 , tu obtiens ainsi facilement la réponse à ta seconde question.

Cool merci donc mon minimum est 4 alors? Mais je ne comprend pas comment tu as réussi a passer de x+16/x > ou = 8 à
$x^2$ +16)/x > ou = 8

Tu réduis au même dénominateur x

$x+16x=x2x+16x=x2+16xx+\frac{16}{x}=\frac{x^2}{x}+\frac{16}{x}=\frac{x^2+16}{x}$

Donc :

$x+16x≥8⟷x2+16x≥8x+\frac{16}{x}\ge 8 \longleftrightarrow \frac{x^2+16}{x}\ge 8$

d'accord mais en quoi $x^2$ -8x+16 >=0 donne cette factorisation:
$x-4)^2$ >=0

Utilise l'identité remarquable :

a²-2ab+b²=(a-b)²

D'accord merci

Mais dans ce cas ce la ne résout pas mon premier problème car on a f(x)> ou = 0 et dans l'énoncer il faut prouve que c'est >= 8

Non... on n' a pas f(x) ≥ 0 , on a f(x) ≥ 8

Relis tranquillement les équivalences logiques que je t'ai écrites....( de la première à la dernière ou de la dernière à la première )

J'ai beau les relire je ne vois pas ou cela résout le question 1 désolé par contre elle résout la question 2, enfin je pense que tu as raison mais j'aimerai que tu explique si possible

Relis ( et comprends ) ma première réponse ( en analysant chaque étape ) :

Pour x > 0 :

f(x) ≥ 8 <=> .................................<=> (x-4)² ≥ 0

J'essai mais je ne comprends pas désolé

Peut tu m'expliquer

Précise clairement ce que tu ne comprends pas.

Je ne comprends pas en quoi ces équivoques résoudent mon problème

Tu dois prouver que pour tout x > 0 , la proposition f(x) ≥ 8 est VRAIE

Si tu as compris les transformations , tu sais que : f(x) ≥ 8 <=> (x-4)² ≥ 0

(x-4)²≥0 est VRAIE ( car un carré est nécessairement positif ) , donc f(x)≥8 est VRAIE.

Si tu ne comprends toujours pas , je t'indique une autre façon ( qui revient au même ) :

Autre méthode:

$f(x)=x+16x=x2+16xf(x)=x+\frac{16}{x}=\frac{x^2+16}{x}$

Astuce pour faire apparaître une identité remarquable : ajouter et enlever 8x au numérateur

$f(x)=x2+16x=x2+16−8x+8xx=(x2+16−8x)+8xx=(x−4)2+8xxf(x)=\frac{x^2+16}{x}=\frac{x^2+16-8x+8x}{x}=\frac{(x^2+16-8x)+8x}{x}=\frac{(x-4)^2+8x}{x}$

$f(x)=\frac{(x-4)^2}{x}+\frac{8x}{x}=\fbox{\frac{(x-4)^2}{x}+8}$

x>0 et (x-4)²≥0 donc $(x−4)2x≥0\frac{(x-4)^2}{x}\ge 0$ donc $f(x)≥8f(x)\ge 8$

Choisis la méthode que tu préfères.

Super compris! Mais je préfères la première méthode!
Merci Vraiment

Mais je viens de me rendre compte de quelque chose en 2 on me demande quel est le minimum de f sur ]0;+infini[ donc mon minimum ne peut pas etre x=4 autrement f(x)=0

Dur , dur...

Recompte : Pour x=4 , f(4)=8

Oui normal

Mais après?

Le minimum de f(x) est 8 , qui est obtenu pour x=4

Tu n'as plus rien à faire.

ok merci

De rien.

A+