equations dans l'ensemble des nombres complexe



  • bonjour ou plutôt bonsoir a tous,

    j'ai besoin d'une petite ( ou une grande) aide pour résoudre un exo,

    voilà l’énoncé:

    on considère dans l'ensemble des nombres complexes le polynôme défini par :
    p(z) = z^4+4

    1. montrer que si le nombre complexe "a" est racine de P alors " -a" est aussi racine de P.

    2. démontrer que pour tout nombre complexe z, on a ( conjugué de P(z) ) = P ( conjugué de z). (désolé je n'arrive pas a faire le trait pour les conjugués 😕 )

    3. calculer P( 1 + i ) et en déduire toutes les solutions de l'équation P(z) = 0 .

    alors voila ou j'en suis:

    pour la question 1) je pense qu'il faut dériver et et de la trouver les racines qui doivent être des opposée non 😕
    apres pour le reste je sais pas trop. 😞

    j’espère que j'aurai de l'aide merci beaucoup.



  • Bonsoir serine,

    1. Calcule p(a) puis p(-a)


  • pour la 1) sachant que a est racine de p(a) donc p(a) = 0
    donc p(-a) =0 (on remplaçant z par a dans la formule)
    c'est bien ça? 😕



  • Non

    Exprime p(-a) et compare avec p(a).



  • donc ça fait:

    P(-a)=(-a)4+4=a4+4=P(a)

    non?



  • Oui c'est cela



  • pouvez vous m'aider pour la question 2 svp?

    je pense qu'il faut utiliser le conjugué, et je trouve ça:

    • est le conjugué

    [P(z)]=(z^4+4)=(z^4)+4=(z)^4+4=P(z*)

    c'est bien ça?
    merci



  • Oui c'est correct.



  • et pour la 3 donc:

    p(1+i)= (1+i)^4 +4 = (1+i)² (1+i)² + 4
    = (1+2i+i²)(1+2i+i²) +4
    = (1+2i-1)(1+2i-1)= 4i²+4=4 x (-1) +4 = -4 +4=0

    il est juste mon raisonnement?
    merci



  • Oui c'est juste.



  • mais donc les solutions de l'équation P(z) = 0
    sont 1+i ?



  • Et les indications données aux questions 1 et 2 ?



  • ah oui, donc c'est: 1+i et 1-i?


 

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