equations dans l'ensemble des nombres complexe

bonjour ou plutôt bonsoir a tous,

j'ai besoin d'une petite ( ou une grande) aide pour résoudre un exo,

voilà l’énoncé:

on considère dans l'ensemble des nombres complexes le polynôme défini par :
p(z) = z^4+4

montrer que si le nombre complexe "a" est racine de P alors " -a" est aussi racine de P.
démontrer que pour tout nombre complexe z, on a ( conjugué de P(z) ) = P ( conjugué de z). (désolé je n'arrive pas a faire le trait pour les conjugués )
calculer P( 1 + i ) et en déduire toutes les solutions de l'équation P(z) = 0 .

alors voila ou j'en suis:

pour la question 1) je pense qu'il faut dériver et et de la trouver les racines qui doivent être des opposée non
apres pour le reste je sais pas trop.

j’espère que j'aurai de l'aide merci beaucoup.

Bonsoir serine,

Calcule p(a) puis p(-a)

pour la 1) sachant que a est racine de p(a) donc p(a) = 0
donc p(-a) =0 (on remplaçant z par a dans la formule)
c'est bien ça?

Non

Exprime p(-a) et compare avec p(a).

donc ça fait:

P(-a)=(-a)4+4=a4+4=P(a)

non?

Oui c'est cela

pouvez vous m'aider pour la question 2 svp?

je pense qu'il faut utiliser le conjugué, et je trouve ça:

est le conjugué

[P(z)]=(z^4+4)=(z^4)+4=(z)^4+4=P(z*)

c'est bien ça?
merci

Oui c'est correct.

et pour la 3 donc:

p(1+i)= (1+i)^4 +4 = (1+i)² (1+i)² + 4
= (1+2i+i²)(1+2i+i²) +4
= (1+2i-1)(1+2i-1)= 4i²+4=4 x (-1) +4 = -4 +4=0

il est juste mon raisonnement?
merci

Oui c'est juste.

mais donc les solutions de l'équation P(z) = 0
sont 1+i ?

Et les indications données aux questions 1 et 2 ?

ah oui, donc c'est: 1+i et 1-i?