Dm Suite

Soit F la fonction données pour réel x de ]-inf ; 4[ U ]4 ; +inf[, par f(x) = -6x+10 / x-4

A- On note Cf la courbe représentant f dans le plan muni d'un repère .
1)
a) Etudiez la limites aux bornes de ]-inf ; 4[ U ]4;+inf[ . Donnez les asymptotes de Cf
Reponse :

Lim f(x) = Lim -6x/x = -6
-inf

Lim f(x) = -inf
x tend vers 4
x > 4
Lim f(x) = Lim -6x/x = -6
+inf

Asymptote horizontale equation : y = -6
Asymptote verticale equation : x = 1
b) Etudiez le sens de variation de F.
Reponse :
f'(x) = ( -6x + 24 ) - ( -6x + 10 ) / (x-4)²
f'(x) = 14 / (x-4)²

Lorsque si x<4 alors f(x) est decroissante et quand x>4 alors f(x) est croissante

Montrez que si x[-7;0] alors f(x)[-7;0]

Réponse :
2)
F(-7) = -2.9
F(0) = -2.5

Puisque f(x) est croissant on en deduit que si x€[-7;0] alors f(x) € [-7;0]
B-
(Un) et (Vn) sont deux suites definies sur IN par : U0 = -1 et pour tout n de IN , Un+1 = F(Un)
v0 = -7 Vn+1 = F(Vn)

Dans le plan muni d'un repère orthonormé , construisez sur l'axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites en laissant apparaitre les traits de construction

J'arrive pas cette question j'ai fais la droite y = x et construit la droite F(x) mais je suis bloque apres .

Montrez a l'aide d'un raisonnement par reccurence que :
a) Pour tout n entier naturel , -7<=Un<=0

Initialisation :

Montrons que P0 vraie : U0 =-1
Donc -7<=U0<=0

Heredite :

Supposon P vraie
Demontrons P1 est vrai -7<=Un+1<=0

F(Un) est une fonction decroissante sur -7 et 0 donc f(-7) >= F(Un)>= f(0)

-2.9 >= F(Un) >= -2.5

Donc Un+1 inferieur a -2.9 et superieur a -2.5 , 0 >= -2.9 >= F(Un) >= -2.5 >= -7

0>=Un+1>=-7

Conclusion :

A fortiori 0>=Un>=-7

b) (Un) est decroissante .
Reponse :
Initialisation :
Si Un est decroissante alors Un+1 - Un < 0
Montrons que P0 est vrai . U0 = -1 , U1 = -3.2
-3.2 - -1 = -2.2 < 0

Heredite

Supposons que Un+1 - Un < 0 est vrai
Demontrons que Un+2 - Un < 0 est vrai

F(Un) est fonction decroissante sur -7 et 0 donc F(Un+1) - F(Un) > F(0)
F(Un+1) - F(Un) > -2.5

Donc 0 > Un+2 - Un+1 > -2.5 donc Un+2 - Un+1 < 0 est vrai

Conclusion :
A fortiori Un+1 - Un < 0 donc la suite (Un) est decroissante .

a) Montrez que pour tout entier naturel , Un+1 - Vn+1 = 14(Un-Vn) / (Vn-4)(Un-4)
Réponse :
( -6Un + 10 ) / ( Un - 4 ) - ( -6Vn + 10 ) / ( Vn - 4 ) = (-6UnVn + 24Un -40 +10Vn - (-6UnVn + 24Vn + 10Un -40)) / (Vn - 4 ) ( Un - 4 ) = ( 14Un - 14Vn ) / (Vn - 4 ) ( Un - 4 )

b)En deduire que pour tout n de IN , Un-Vn >= 0
Reponse :
Puisque Vn est croissante donc elle a donc comme maximum -7 et Un est decroissante donc minimum -1

En prenant ces valeurs on voit que Un+1 - Vn+1 = 6 / 55 > 0
Donc a fortiori Un - Vn > 0
Je ne sais pas si j'ai bon jusque ici , pour la suite je suis perdu je comprend pas . Merci d'avoir pris la peine de lire
c) Determinez un réel k compris entre 0 et 1 tel que Un+1-Vn+1<=k*(Un-Vn)
4)
a) Montrez que pour tout entier naturel n , Un - Vn<=6*kn^n
b)Determinez la limite de la suite (Un-Vn)
5)
a) Montrez que (Un) est minorée.Qu'en déduisez vous ?
b)Montrez que (Vn) est majorée.Qu'en deduisez vous ?
c)Montrez que les suites (Vn) et (Un) convergent vers un réel.
6)Determinez la valeur exacte de la limite commune.

Merci de votre futur aide je suis perdu sa fait 2 jours j'arrive a rien $:\$

Bonsoir,

1 a) La limite lorsque x tend vers 4 est fausse.
lim 1/x tend vers 0 si x tend vers ∞

asymptote verticale fausse