Fontion affine par morceaux

Bonjour,
On m'a donné un DM de math que j'ai du mal à comprendre, et à résoudre :

On s'intéresse à un flacon constitué d'un cube surmonté d'un cylindre. Le cylindre et le cube communiquent intérieurement. Le cube a pour arête 6cm et le cylindre pour hauteur 6cm et pour rayon 2cm. On note x la hauteur (en cm) de liquide contenu dans le flacon et V(x) le volume (en cm³) correspondant.

Quel ensemble de définition peut-on donner à la fonction V au vu de l'énoncé ?
-> Pour cette question, je pense que la réponse est tous nombres positifs, puisqu'une mesure ne peut être négative ... ?
Calculer V(2), V(6) puis V(10). Justifier la démarche.
-> Je suis partie de V = 6×6× x + xpi×2², où x = hauteur
= x(36+4pi)
Si l'équation est bonne, j'ai V(2) = 97.13; V(6) = 291.40; V(10) = 485.66
Dans le cas général, pourquoi ne peut-on donner à V(x) une unique expression ?
-> Je pense que l'expression dépend de si x dépasse le flacon ( x ≥ 6x6x6, donc x≥ 216) ou pas. (x≤216)
Déterminer les expressions de V(x) selon les différents cas.
-> J'ai mis : soit : V(x) = 6×6×6 + π×4×x
= 216 + 4x×π
ou V(x) = 6×6×x
= 36x
Qu'en pensez-vous ?
Tracer la courbe représentative de V dans un repère adapté.
-> Je sais tracer une courbe, mais je ne sait pas quoi prendre pour f(x), soit quelle valeur de V ...
Par une résolution d'équation, déterminer comment choisir x pour que le flacon contienne 284cm³.
-> J'ai fait : 284 = 216+4π×x
68 = 4π×x
17 = π×x
x = 17÷π ≈ 5.41

7.Par une résolution d'inéquations, déterminer comment choisir x pour que le flacon contienne un volume compris entre 220 et 250 cm³.
-> 220≤216+4π×x
250≥ 216+4π×x
Ce système est-il bon ? et je ne suis pas sûre de savoir le résoudre ...

8.Retrouver les réponses aux questions 6 et 7 par lecture graphique sur la courbe de la fonction V en annotant simplement en couleurs.

Je vous demande de bien vouloir m'aider si vous avez quelques conseils à m'apporter, ou remarqué des erreurs ...
Merci à ceux qui penseront à moi.

Bonjour Kelsy,

des erreurs

Sur quel intervalle varie la hauteur x du flacon ?
Vu que le cube a une arête qui mesure 6 cm si la hauteur est inférieure ou égale à 6, le cylindre ne contient pas de liquide.
V(2) = 6 x 6 x 2 = ....

Oui, je viens de comprendre certaines erreurs !
L'intervalle doit être 0 exclu, 12 inclus ?

Et pour les V(x), je trouve maintenant V(2) = 72
V(6) = 216
V(10) = 266.26
?

Attention à l'arrondi pour V(10) = 266,27.

D'accord.

Question 3, écris les différentes expression de V(x) selon les valeurs de x.

Je dirais pour x≤6
V(x) = 6×6×x
Pour x>6
V(x) = 6×6×6+4π×x
?

C'est correct.

Peux-tu m'aider avec l'équation de 284 ... ?
Je suis censée trouver quelque chose aux alentours de 11, d'après la courbe que j'ai faite en prenant la première valeur de V pour x≤6 et l'autre pour x>6.
Mais je trouve 17÷π ce qui me donne aux alentours de 5. Je me suis rendue compte qu'il faudrait y ajouter 6 pour que la lecture graphique soit correcte ( question8), mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi ...

Le résultat est bien 17/π, vérifie le graphique.

36×5=180
donc V(5) = 180.

et 17/π ≈ 5.411 donc ≤ 6, alors qu'on fait l'équation 284 = 216+4π×x, pour x>6.

Je ne comprends pas où est le problème, mais il y en a un ...
V(17/π) = 36×17/π ≈ 194.8
et non 284.

Bonne remarque,

C'est V(x) qui est faux
si x ≤ 6
V(x) = 6×6×x
Pour x>6
V(x) = 6×6×6+4π×(x-6)
?

Oui !
Donc on aurait l'équation :
284 = 216 +4π×(x-6)
284 = 216 + 4πx - 24π
68 = 20π×x
3.4 = π×x
x = 3.4÷π
Je doute de mon équation.

284 = 216 + 4πx - 24π
68 +24π= 4πx
17 + 6π = πx
x = 6 + 17/π

Merci beaucoup ... !
Il me reste la question 7 à résoudre :
Par une résolution d'inéquations, déterminer comment choisir x pour que le flacon contienne un volume compris entre 220 et 250 cm³.
Je ferais, sans être sûre de moi un système d'équations ?
220<216+4π×(x-6)
250>216+4π×(x-6)
?

Oui, résous ces inéquations.

220 ≤ 216+4π×(x-6)
4 ≤ 4πx-4π×6
4 ≤ 4πx-24π
4+24π ≤ 4πx
1+6π ≤ πx
x ≤ (1+6π)÷π
x ≤ 6+(1÷π)
Est-ce que c'est bon pour la première ?

Une erreur

1+6π ≤ πx
x ≥ (1+6π)÷π
x ≥ 6+(1÷π)

Je ne comprends pas pourquoi on change les signes de sens, puisqu'on ne divise pas par un nombre négatif mais par π ... ?

Le sens de l'inégalité n'a pas changé;
1+6π ≤ πx équivalent à
nx ≥ 1 + 6π
soit
x ≥ (1+6π)÷π
x ≥ 6+(1÷π)

D'accord, j'ai compris.
Donc, pour la deuxième :
250 ≥ 216+4π×(x-6)
34 ≥ 4π×(x-6)
34 ≥ 4πx-24π
34+24π ≥ 4πx
8.5+6π ≥ π×x
x ≤ 6+(8.5÷π)
?

C'est juste.

D'accord, merci infiniment, comme tu as pu le voir, j'ai mis beaucoup de temps à comprendre ... J'ai enfin fini ce Dm, je suis contente, il ne me reste plus qu'à le rédiger proprement !
Encore un grand merci pour ton aide.

L'essentiel c'est que tu aies compris.

Kelsy
Peux-tu m'aider avec l'équation de 284 ... ?
Je suis censée trouver quelque chose aux alentours de 11, d'après la courbe que j'ai faite en prenant la première valeur de V pour x≤6 et l'autre pour x>6.
Mais je trouve 17÷π ce qui me donne aux alentours de 5. Je me suis rendue compte qu'il faudrait y ajouter 6 pour que la lecture graphique soit correcte ( question8), mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi ...

Bonjour j'ai exactement le même DM seulement je n'arrive pas à comprendre comment tracer mon graphique (les unités, les pas et s'il doit y avoir 2 courbes car 2 fonctions ou si elle doivent se suivre) si tu pourrais m'expliquer comment tu as fais pour le faire Kelsy ca m'aiderais, merci d'avance

Les deux courbes se suivent.

Ecris les expressions de V(x).