Calcul des limites d'une fonction rationnelle

Bonjour matinal
J'aurai besoin d'un petit coup de pouce pour me débloquer dans l'exercice dont l'énoncé est le suivant:

Considérons la fonction sur R, non définie en 3/2, par
f(x) = (2x² - x- 2 ) / (2x - 3)
1)a) A l'aide de la calculatrice conjecturer la limite éventuelle de f en -∞, +∞ et en 3/2
b) Conjecturer également une équation à l'asymptote verticale
2) Vérifier par calcul les conjectures émises.
3a) Quelle est l'allure de la courbe lorsque x tend vers -∞? vers +∞?
b) La fonction rationnelle f se comporte à l'infini comme le quotient 2x²/2x donc comme x. On peut donc conjecturer que la courbe Cf prend vers l'infini la direction de la droite d'équation y=x. Représenter sur votre calculer f et la droite d'équation y=x. Que constatez vous ?
c) Quelle modification vous semble nécessaire pour approcher au plus près les branches infinies de la courbe Cf par une droite ? Faire cette modification.
4a) Déterminer a, b, c, tels que pour tout x ≠ 3/2
f(x) = ax + b + (c/2x-3)
b) Déterminer
lim x→+∞ [f(x) - (ax+b)] et lim x→-∞ [f(x) - (ax+b)]
Quelles conséquences graphiques pouvez vous en déduire ? Est ce que cela confirme le choix fait à la question 3c ?

Alors je bloque à la question 3c, je ne vois pas quelle modification je peux effectuer. :rolling_eyes:
Pour le début, j'ai conjecturé que la limite en -∞ est -∞, en + ∞ est +∞, pour x>3/2 limite +∞ et pour x<3/2 limite -∞.
J'ai également conjecturé que l'équation de l'asymptote verticale est x= 3/2
Je n'ai pas eu de problème pour vérifier mes conjectures par le calcul.
3a) Lorsque x → -∞ j'ai dit que la courbe était d'abord croissante puis décroissante et inversement lorsque x → + ∞ d'abord décroissante puis croissante.
A la question 3b, j'ai constaté que y=x est une asymptote oblique à la fonction f
En revanche je peine à faire la suite ... :frowning2:

Bonne journée à tous, et merci d'avance !

Bonjour,

Pour la 3)a) , on ne te demande pas le sens de variation de la fonction

Lorsque x tend vers -∞ ou +∞ , la courbe "tente" de s'approcher d'une droite ( qui sera son asymptote oblique )

Pour la 3)b) , y=x n'est pas l'équation de l'asymptote oblique.

y=x donne seulement la directionde l'asymptote oblique .

Pour la 3)c) , il faut essayer de décomposer f(x) en faisant apparaître une fonction affine.

Evidemment , en le faisant "trop bien" , on va faire la question 4)...

Merci pour ces diverses explications

J'ai beau essayer je ne parviens pas à faire une décomposition judicieuse de f(x).
Je n'obtiens que : x/-3 -(x-2/2x-3) c'est bizarre non ?

Ta méthode est fausse ...on ne peut pas décomposer le dénominateur ainsi .

Pour simplifier par 2x-3 , il faut que tu fasses apparaître (2x-3) au numérateur

Par exemple ,

$\text{f(x)=\frac{2x^2-3x+2x-2}{2x-3}=\frac{x(2x-3)+2x-2}{2x-3}$

Essaie de décomposer.

Je ne comprends pas on a le droit de modifier seulement certains termes du numérateur ?

Oui , tu ne peux décomposer que le numérateur .

Principe à utiliser :

$\text{\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$

mtschoon

$\text{f(x)=\frac{2x^2-3x+2x-2}{2x-3}=\frac{x(2x-3)+2x-2}{2x-3}$

Je ne comprends toujours pas comment vous obtenez la première partie de ce résultat , je suis désolée :rolling_eyes:
Je n'arrive pas à le faire, est ce que vous avez fait ?

$/tex{f(x)=\frac{2x^2-2}{2x-3} + \frac{-x}{2x-3}3 + \frac{-x}{2x-3}-2$

Tu ne m'avais pas dit que tu ne comprenais pas la première partie...

Quelques explications :

Il faut faire apparaître (2x-3) au numérateur pour pouvoir ensuite le simplifier avec le (2x-3) du dénominateur

Tu peux transformer ainsi :

$\text{2x^2-x=2x^2-3x+2x vu que -3x+2x=-x$

Ensuite : $\text{2x^2-3x=x(2x-3)$

Donc :

$\text{f(x)=\frac{x(2x-3)+2x-2}{2x-3}$

Lorsque tu auras compris la démarche , il faudra continuer en utilisant la principe donné dans mon précédent message.

Merci, je pense avoir mieux compris

Par contre, ce que je trouve après ne doit pas être juste car j'obtiens:

x(2x-3)-2 / 2x-3 = x(2x-3) / (2x-3) - 2/2x-3 = x - 2/ 2x- 3

J'ai fais une erreur quelque part non ?

Tua s a dû perdre quelque chose...

$\text{f(x)=\frac{x(2x-3)}{2x-3}+\frac{2x-2}{2x-3}=x+\frac{2x-2}{2x-3}$

Tu peux continuer avec la même démarche en décomposant $\text{\frac{2x-2}{2x-3}$

$\text{\frac{2x-2}{2x-3}=\frac{2x-3+1}{2x-3}=\frac{2x-3}{2x-3}+\frac{1}{2x-3}=1+\frac{1}{2x-3}$

Au final , f(x) pourra s'écrire :

$\text{f(x)=x+1+....$ ( tu complètes )

Ah d'accord j'ai compris !!
Et oui effectivement j'avais oublié une partie du calcul
Donc si je comprends bien ça donne:
f(x) = x + 1 + 1/ 2x+3
C'est bien ça ?

Par contre, je ne vois pas trop quoi répondre à la question 3c? :rolling_eyes:

C'est bien ça.

Question 3)c) ?

Mais ...c'est celle que tu viens de traiter...

Ah, mais c'est exactement la meme question que la 4a ?
Ou dans la 4a je dois juste préciser les valeurs de a, et c ?

Oui , c'est même ce que je t'ai indiqué précédemment...en faisant trop bien la 3)c) , on obtient le résultat de la 4)a)...

Pour la 4)a) , pratique différemment : comme en Première , procède par identification pour trouver a,b, c

$\text{ax+b+\frac{c}{2x-3}=\frac{(ax+b)(2x-3)+c}{2x-3}$

Tu développes le numérateur , tu le mets sous la forme d'un polynome du second degré de variable x que tu identifies à 2x²-x-2

Tu obtiendras ainsi un système de 3 équations à 3 inconnues a,b,c à résoudre

Pour la question 3c j'ai juste à dire qu'il semble nécessaire de transformer l'expression de x pour qu'elle devienne
f(x) = = x + 1 + 1/ 2x+3 ?

Hum je trouve en développant le numérateur:
f(x) = (2x²a - 3ax + 2xb - 3b + c ) / 2x-3
C'est normal ? :rolling_eyes:

oui ;

comme je te l'ai dit dans mon précédent message , mets le numétareur sous la forme d'un polynome du second degré de variable xque tu identifies à 2x²-x-2

( tu as dû voir cette méthode en Première )

Tu peux revoir la méthode ici , au paragraphe 3.2

http://freddmn.perso.sfr.fr/fm/1e/identif.pdf

Je n'ai jamais vu ça en Première ..
Hum j'ai tout de même essayé de le faire et je trouve
2x²-x-2 = 2ax² + (-3a+2b)x + 3b + c

C'est ça ?

c'est presque ça , mais il y a une erreur de signes.

2x²-x-2 = 2ax² + (-3a+2b)x - 3b + c
C'est mieux ?

Je crois avoir trouvé le système de trois équations

2a = 2 donc a = 1

-3a + 2b = -1
-3*1 + 2b= -1
-3 + 2b = -1
2b = 2
b= 1

-3b + c = -2
-3*1 + c = -2
c = 1

C'est cela ?

Pour la rédaction , je te conseille d'écrire d'abord clairement le système :

$\left{2a=2\-a+2b=-1\-3b+c=-2\right$

Ensuite , tu résous.

Tes réponses sont bonnes ( compare-les au résultat du 3)b) )

Bravo !

D'accord & merci !
C'est vrai qu'écrit comme ça c'est plus clair.

Ces résultats sont identiques à ceux du 3b).
Cela veut dire qu'on a bien fait de transformer l'expression de la fonction ?

Les deux méthodes sont indépendantes .

La méthode "classique" est celle du 4)a)

D'accord, donc en fait on a traité la même question, mais de deux manières différentes ?
Comme les limites sont 0, la conséquence graphique est que ax +b est asymptote oblique ?

Oui , mais exprime toi avec soin.

y=x+1 est l'équation de l'asymptote oblique à la courbe ( en +∞ et -∞ )

D'accord

Merci beaucoup pour votre aide
Bonne soirée

De rien.

a+ , et bonne soirée à toi .