limites



  • Bonjour matinal 😄
    J'aurai besoin d'un petit coup de pouce pour me débloquer dans l'exercice dont l'énoncé est le suivant:

    Considérons la fonction sur R, non définie en 3/2, par
    f(x) = (2x² - x- 2 ) / (2x - 3)
    1)a) A l'aide de la calculatrice conjecturer la limite éventuelle de f en -∞, +∞ et en 3/2
    b) Conjecturer également une équation à l'asymptote verticale

    1. Vérifier par calcul les conjectures émises.
      3a) Quelle est l'allure de la courbe lorsque x tend vers -∞? vers +∞?
      b) La fonction rationnelle f se comporte à l'infini comme le quotient 2x²/2x donc comme x. On peut donc conjecturer que la courbe Cf prend vers l'infini la direction de la droite d'équation y=x. Représenter sur votre calculer f et la droite d'équation y=x. Que constatez vous ?
      c) Quelle modification vous semble nécessaire pour approcher au plus près les branches infinies de la courbe Cf par une droite ? Faire cette modification.
      4a) Déterminer a, b, c, tels que pour tout x ≠ 3/2
      f(x) = ax + b + (c/2x-3)
      b) Déterminer
      lim x→+∞ [f(x) - (ax+b)] et lim x→-∞ [f(x) - (ax+b)]
      Quelles conséquences graphiques pouvez vous en déduire ? Est ce que cela confirme le choix fait à la question 3c ?

    Alors je bloque à la question 3c, je ne vois pas quelle modification je peux effectuer. :rolling_eyes:
    Pour le début, j'ai conjecturé que la limite en -∞ est -∞, en + ∞ est +∞, pour x>3/2 limite +∞ et pour x<3/2 limite -∞.
    J'ai également conjecturé que l'équation de l'asymptote verticale est x= 3/2
    Je n'ai pas eu de problème pour vérifier mes conjectures par le calcul.
    3a) Lorsque x → -∞ j'ai dit que la courbe était d'abord croissante puis décroissante et inversement lorsque x → + ∞ d'abord décroissante puis croissante.
    A la question 3b, j'ai constaté que y=x est une asymptote oblique à la fonction f
    En revanche je peine à faire la suite ... :frowning2:

    Bonne journée à tous, et merci d'avance ! 😄


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Pour la 3)a) , on ne te demande pas le sens de variation de la fonction

    Lorsque x tend vers -∞ ou +∞ , la courbe "tente" de s'approcher d'une droite ( qui sera son asymptote oblique )

    Pour la 3)b) , y=x n'est pas l'équation de l'asymptote oblique.

    y=x donne seulement la directionde l'asymptote oblique .

    Pour la 3)c) , il faut essayer de décomposer f(x) en faisant apparaître une fonction affine.

    Evidemment , en le faisant "trop bien" , on va faire la question 4)...



  • Merci pour ces diverses explications 😄

    J'ai beau essayer je ne parviens pas à faire une décomposition judicieuse de f(x).
    Je n'obtiens que : x/-3 -(x-2/2x-3) c'est bizarre non ?


  • Modérateurs

    Ta méthode est fausse ...on ne peut pas décomposer le dénominateur ainsi .

    Pour simplifier par 2x-3 , il faut que tu fasses apparaître (2x-3) au numérateur

    Par exemple ,

    $\text{f(x)=\frac{2x^2-3x+2x-2}{2x-3}=\frac{x(2x-3)+2x-2}{2x-3}$

    Essaie de décomposer.



  • Je ne comprends pas on a le droit de modifier seulement certains termes du numérateur ?
    😕


  • Modérateurs

    Oui , tu ne peux décomposer que le numérateur .

    Principe à utiliser :

    $\text{\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$



  • mtschoon

    $\text{f(x)=\frac{2x^2-3x+2x-2}{2x-3}=\frac{x(2x-3)+2x-2}{2x-3}$

    Je ne comprends toujours pas comment vous obtenez la première partie de ce résultat , je suis désolée :rolling_eyes:
    Je n'arrive pas à le faire, est ce que vous avez fait ?

    $/tex{f(x)=\frac{2x^2-2}{2x-3} + \frac{-x}{2x-3}3 + \frac{-x}{2x-3}-2$


  • Modérateurs

    Tu ne m'avais pas dit que tu ne comprenais pas la première partie...

    Quelques explications :

    Il faut faire apparaître (2x-3) au numérateur pour pouvoir ensuite le simplifier avec le (2x-3) du dénominateur

    Tu peux transformer ainsi :

    $\text{2x^2-x=2x^2-3x+2x vu que -3x+2x=-x$

    Ensuite : $\text{2x^2-3x=x(2x-3)$

    Donc :

    $\text{f(x)=\frac{x(2x-3)+2x-2}{2x-3}$

    Lorsque tu auras compris la démarche , il faudra continuer en utilisant la principe donné dans mon précédent message.



  • Merci, je pense avoir mieux compris 😄

    Par contre, ce que je trouve après ne doit pas être juste car j'obtiens:

    x(2x-3)-2 / 2x-3 = x(2x-3) / (2x-3) - 2/2x-3 = x - 2/ 2x- 3

    J'ai fais une erreur quelque part non ?


  • Modérateurs

    Tua s a dû perdre quelque chose...

    $\text{f(x)=\frac{x(2x-3)}{2x-3}+\frac{2x-2}{2x-3}=x+\frac{2x-2}{2x-3}$

    Tu peux continuer avec la même démarche en décomposant $\text{\frac{2x-2}{2x-3}$

    $\text{\frac{2x-2}{2x-3}=\frac{2x-3+1}{2x-3}=\frac{2x-3}{2x-3}+\frac{1}{2x-3}=1+\frac{1}{2x-3}$

    Au final , f(x) pourra s'écrire :

    $\text{f(x)=x+1+....$ ( tu complètes )



  • Ah d'accord j'ai compris !!
    Et oui effectivement j'avais oublié une partie du calcul
    Donc si je comprends bien ça donne:
    f(x) = x + 1 + 1/ 2x+3
    C'est bien ça ? 😁

    Par contre, je ne vois pas trop quoi répondre à la question 3c? :rolling_eyes:


  • Modérateurs

    C'est bien ça.

    Question 3)c) ?

    Mais ...c'est celle que tu viens de traiter...



  • Ah, mais c'est exactement la meme question que la 4a ?
    Ou dans la 4a je dois juste préciser les valeurs de a, et c ? 😄


  • Modérateurs

    Oui , c'est même ce que je t'ai indiqué précédemment...en faisant trop bien la 3)c) , on obtient le résultat de la 4)a)...

    Pour la 4)a) , pratique différemment : comme en Première , procède par identification pour trouver a,b, c

    $\text{ax+b+\frac{c}{2x-3}=\frac{(ax+b)(2x-3)+c}{2x-3}$

    Tu développes le numérateur , tu le mets sous la forme d'un polynome du second degré de variable x que tu identifies à 2x²-x-2

    Tu obtiendras ainsi un système de 3 équations à 3 inconnues a,b,c à résoudre



  • Pour la question 3c j'ai juste à dire qu'il semble nécessaire de transformer l'expression de x pour qu'elle devienne
    f(x) = = x + 1 + 1/ 2x+3 ?

    Hum je trouve en développant le numérateur:
    f(x) = (2x²a - 3ax + 2xb - 3b + c ) / 2x-3
    C'est normal ? :rolling_eyes:


  • Modérateurs

    oui ;

    comme je te l'ai dit dans mon précédent message , mets le numétareur sous la forme d'un polynome du second degré de variable xque tu identifies à 2x²-x-2

    ( tu as dû voir cette méthode en Première )


  • Modérateurs

    Tu peux revoir la méthode ici , au paragraphe 3.2

    http://freddmn.perso.sfr.fr/fm/1e/identif.pdf



  • Je n'ai jamais vu ça en Première ..
    Hum j'ai tout de même essayé de le faire et je trouve
    2x²-x-2 = 2ax² + (-3a+2b)x + 3b + c

    C'est ça ? 😄


  • Modérateurs

    c'est presque ça , mais il y a une erreur de signes.



  • 2x²-x-2 = 2ax² + (-3a+2b)x - 3b + c
    C'est mieux ? 😄



  • Je crois avoir trouvé le système de trois équations

    2a = 2 donc a = 1

    -3a + 2b = -1
    -3*1 + 2b= -1
    -3 + 2b = -1
    2b = 2
    b= 1

    -3b + c = -2
    -3*1 + c = -2
    c = 1

    C'est cela ? 😁


  • Modérateurs

    Pour la rédaction , je te conseille d'écrire d'abord clairement le système :

    $\left{2a=2\-a+2b=-1\-3b+c=-2\right$

    Ensuite , tu résous.

    Tes réponses sont bonnes ( compare-les au résultat du 3)b) )

    Bravo !



  • D'accord & merci ! 😄
    C'est vrai qu'écrit comme ça c'est plus clair.

    Ces résultats sont identiques à ceux du 3b).
    Cela veut dire qu'on a bien fait de transformer l'expression de la fonction ? 😄


  • Modérateurs

    Les deux méthodes sont indépendantes .

    La méthode "classique" est celle du 4)a)



  • D'accord, donc en fait on a traité la même question, mais de deux manières différentes ?
    Comme les limites sont 0, la conséquence graphique est que ax +b est asymptote oblique ? 😄


  • Modérateurs

    Oui , mais exprime toi avec soin.

    y=x+1 est l'équation de l'asymptote oblique à la courbe ( en +∞ et -∞ )



  • D'accord 😄

    Merci beaucoup pour votre aide 😁
    Bonne soirée


  • Modérateurs

    De rien.

    a+ , et bonne soirée à toi .


 

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