Distance minimale


  • L

    Bonjour à tous ! 😉
    J'aurai besoin de quelques indications pour poursuivre mon exercice, car je suis bloqué :rolling_eyes:

    L'énoncé est le suivant:
    Dans un repère orthonormé on considère la courbe C d'équation y = 1/x avec x > 0
    et le point A de coordonnées (1;-1)
    Le but de l'exercice est de déterminer, s'il existe, le point de M de C ,d’abscisse x, pour lequel la distance AM est minimale.
    1a) Justifier pourquoi "AM est minimal" équivaut à "AM² est minimal"
    b) Calculez d(x) = AM² en fonction de l'abscisse x de M
    c) Montrer que pour tout x > 0
    d'(x) = 2f(x) / x3x^3x3
    ou f(x) est un polynome du quatrième degré

    2a) Développer (x−1)(4x2(x-1)(4x^2(x1)(4x2 + x + 1 )
    b) Etudier les variations de f sur ]0; + ∞[
    3a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution alpha dans l'intervalle ]0; + ∞[
    b) Donner un encadrement de alpha d'amplitude 10−210^{-2}102
    4) Deduire de ce qui précède les variations de la fonction d et conclure
    5) pour x= alpha on obtient le point M0M_0M0 de C le plus proche de A. Justifier que la tangente de C en M0M_0M0 est perpendiculaire à la droite (AM0(AM_0(AM0)

    Malheureusement, je suis bloqué relativement tôt ..
    Pour 1a) J'ai dit qu'il s'agit en fait d'écriture différente mais que la distance dans un repère orthonormé s'exprime par
    AM² = (x(x(x_m−xa-x_axa)² + (y(y(y_m−ya-y_aya)² ⇔ AM= √(x(x(x_m−xa-x_axa)² + (y(y(y_m−ya-y_aya

    Pour 1b)
    J'ai trouvé
    d(x) = (x4(x^4(x4 - 2x32x^32x3 + 2x² + 2x + 1 ) / x²
    Est-ce juste? 😄

    Enfin pour la 1)c), j'ai trouvé
    d'(x) = 2 (x4(x^4(x4 - x² - x) / x3x^3x3
    Mais je pense qu'il a une erreur non ?

    Merci d'avance pour votre aide, bonne soirée 😄


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir,

    Une erreur dans la dérivée, il manque le terme constant au numérateur.


  • L

    Merci d'avoir répondu.
    Cependant j'ai du mal à voir à mon erreur alors je vais vous écrire le calcul 😄

    d'(x) = ((4x3((4x^3((4x3 - 6x² + 4x34x^34x3 + 2 ) ( x²) - (x4(x^4(x4 - 2x32x^32x3 + 2x² + 1 ) (2x)) / (x²)²

    Ce qui donne:
    d'(x) = (4x5(4x^5(4x5 - 6x46x^46x4 + 4x34x^34x3 + 2x² - 2x52x^52x5 + 2x42x^42x4 - 4x34x^34x3 - 4x² -2x) / x4x^4x4
    d'(x)= (2x5(2x^5(2x5 - 4x44x^44x4 - 2x² - 2x ) x4x^4x4
    d'(x)= (2x4(2x^4(2x4 - 4x44x^44x4 - 2x² - 2x
    d'(x)= (−2x4(-2x^4(2x4 - 2x² - 2x) / x3x^3x3
    d'(x)= (2(−x4(2(-x^4(2(x4 - x² - x)) / x3x^3x3

    Est ce que vous parvenez à déceler mon erreur ?


  • N
    Modérateurs

    d'(x) = ((4x3((4x^3((4x3 - 6x² + 4x + 2 ) ( x²) - (x4(x^4(x4 - 2x32x^32x3 + 2x² + 2x + 1 ) (2x)) / (x²)²

    Ce qui donne:
    d'(x) = (4x5(4x^5(4x5 - 6x46x^46x4 + 4x34x^34x3 + 2x² - 2x52x^52x5 + 4x44x^44x4 - 4x34x^34x3 - 4x² -2x) / x4x^4x4
    d'(x)= (2x5(2x^5(2x5 - 2x42x^42x4 - 2x² - 2x ) x4x^4x4
    d'(x)= (2x4(2x^4(2x4 - 2x³ - 2x-2) / x3x^3x3
    = ....


  • L

    Merci beaucoup j'ai vu où était mon erreur 😁
    Cela donne donc:
    d'(x) = 2( x4x^4x4 - x3x^3x3 + x - 1) / x3x^3x3
    C'est cela ? 😄


  • N
    Modérateurs

    C'est juste.


  • L

    Super !
    Pour la 2a) en développant je trouve
    4x34x^34x3 - 3x² - 1
    C'est juste également ? Mais en développant je ne suis pas censé trouver la dérivée de f(x) ?

    Pour la 2b) je pense étudier les variations de la dérivée de f, ce raisonnement est-il le bon ? 😄


  • N
    Modérateurs

    Il manque un terme dans la dérivée :
    d'(x) = ((4x3((4x^3((4x3 - 6x² + 4x + 2 ) ( x²) - (x4(x^4(x4 - 2x32x^32x3 + 2x² +2x + 1 ) (2x)) / (x²)²

    Ce qui donne:
    d'(x) = (4x5(4x^5(4x5 - 6x46x^46x4 + 4x34x^34x3 + 2x² - 2x52x^52x5 + 4x44x^44x4 - 4x34x^34x3-4x² -2x) / x4
    d'(x)= (2x5(2x^5(2x5 - 2x42x^42x4 - 2x² - 2x ) x4x^4x4
    d'(x)= (2x4(2x^4(2x4 - 2x³ - 2x - 2) / x3x^3x3
    = 2(x42(x^42(x4 - x³ - x - 1)/x³


  • L

    Ah oui effectivement ! On avait oublié un terme !
    Du coup c'est cohérent puisqu'en développant l'expression de la 2a) on trouve la dérivée de f 😄
    Pour la 2b il faut donc que j'étudie les variations de f'(x) ?
    Pour cela j'étudie les variations de (x-1) et de ( 4x² + x + 1) ?


  • N
    Modérateurs

    Oui étudie le signe de chaque membres.


  • L

    J'ai trouvé les variations suivantes pour f(x)

    f(0)= -1
    Décroissante jusqu'à f(1)= -2
    Puis croissante jusqu'a + ∞

    Est ce juste ? 😄


  • L

    Je suis un peu bloquée pour trouver les variations de d
    Il faut que je reparte de l'expression de sa dérivée ?
    d(x)= 2(x4 - x³ - x - 1)/x³ ?


  • N
    Modérateurs

    Les variations de f sont justes.
    as tu trouvé la valeur de alpha ?

    question 4, utilise les résultats des questions 2 et 3.


  • L

    Oui alpha est compris entre 1,61 et 1,62 c'est ca ? 😄

    Pour la 4 il faut que je fasse le signe de 2(x4 - x³ - x - 1) et le signe de x3x^3x3 ? Ou c'est une mauvaise idée?


  • N
    Modérateurs

    Oui pour alpha,

    pour la question 4, tu déduis le signe de d' pour x compris entre 0 et alpha puis entre alpha et ∞.


  • L

    Mais comment je fais pour faire ça ?
    Je sais que entre 0 et alpha le signe est négatif et qu'il est positif entre alpha et +∞ , mais pour le justifier j'ai le droit de faire dans un même tableau

    • le signe de 2(x4 - x³ - x - 1)
    • le signe de x3x^3x3
    • le signe de d'(x)
    • le signe de d(x)

    Parce qu'à vrai dire je ne vois pas comment faire autrement :rolling_eyes:


  • N
    Modérateurs

    Pour le tableau de variation
    la première ligne x 0 alpha + ∞


  • L

    C'est ce que j'ai fais 😄
    Et ensuite les lignes suivantes sont celles que j'ai énoncé tout l'heure c'est juste ? 😄


  • N
    Modérateurs

    Oui, tu peux procéder par ces étapes.


  • L

    Super, c'est ce que j'ai fais et je trouve bien
    entre 0 et alpha le signe est négatif et positif entre alpha et +∞
    J'ai ensuite dit que :
    d admet un minimum f(alpha) atteint en alpha.
    D'après l'encadrement de alpha, si on choisit alpha = 1,61 on trouve
    d(1,61) ≈ 3 donc AM² ≈ 3 d'où AM = √3 ≈1,73
    Donc la distance AM est minimal quand abscisse de M = alpha et vaut environ 1,73
    Est t-il davantage rigoureux de dire que la distance minimale est :
    AM= √d(alpha) ? au lieu de mettre tous les calculs précédents?


  • L

    Si jamais les réponses de la 4 sont justes, je suis passé à la 5.

    J'ai calculé l'équation de la tangente en C de m0m_0m0 et la tangente à la droite (AM0(AM_0(AM0)
    J'ai trouvé pour la première
    y = (-x + 2alpha)) / alpha ²
    et pour la seconde:
    y= ( alpha²-1)x -alpha²
    Mon idée est de montrer que le produit de ces deux équations est nul pour pouvoir dire que ces deux droites sont perpendiculaires. Est ce correct ? 😄


  • N
    Modérateurs

    Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.


  • L

    Ah d' accord 🙂
    Et est t'il possible de traiter cette question en se servant du produit scalaire ? 🙂


  • N
    Modérateurs

    Oui,

    Deux droites sont perpendiculaires si le produit scalaire de vecteurs directeurs de ces droites est ....


  • L

    Est égal à 0 non ? 😄
    J'avais essayé quelque chose hier, mais je doute que ce soit le bon résultat parce que j'ai calculé l'équation de ces deux droites
    Je trouve:
    Equation de la tangente de C en M0M_0M0
    y = (-x+2alpha) / alpha ²
    Et équation de la droite (AM0(AM_0(AM0):
    y = (alpha²-1)x + alpha²
    Mes calculs sont-ils justes?
    Ce n'est pas la bonne méthode pour le prouver avec le produit scalaire n'est ce pas ?


  • L

    Comment faut-il faire pour calculer le produit scalaire des deux vecteurs directeurs? :rolling_eyes:


  • N
    Modérateurs

    C'est du cours
    Si le plan est rapporté à un repère orthonormé
    vect u(x;y) vect v(x'y')
    le produit scalaire des vecteurs u et v : xx' + yy'


  • L

    Merci j essaierai ça 😄


  • L

    Je ne vois pas comment trouver les coordonnées du vecteur de la tangente de C en MOM_OMO :rolling_eyes:
    L'équation de cette tangente ne me sert rien ?

    Pour les coordonnées du vecteur de (AMO(AM_O(AMO) j'ai trouvé:
    abscisse: 1-alpha
    Ordonnée: -1 - 1/alpha
    est ce juste ?


  • A

    pouvez vous m'aider pour prouver que AM et la tangente sont perpendiculaire, je bloque vraiment je ne comprend pas pourquoi alors que j'ai tout réussi 😞


Se connecter pour répondre