Distance minimale

Bonjour à tous !
J'aurai besoin de quelques indications pour poursuivre mon exercice, car je suis bloqué :rolling_eyes:

L'énoncé est le suivant:
Dans un repère orthonormé on considère la courbe C d'équation y = 1/x avec x > 0
et le point A de coordonnées (1;-1)
Le but de l'exercice est de déterminer, s'il existe, le point de M de C ,d’abscisse x, pour lequel la distance AM est minimale.
1a) Justifier pourquoi "AM est minimal" équivaut à "AM² est minimal"
b) Calculez d(x) = AM² en fonction de l'abscisse x de M
c) Montrer que pour tout x > 0
d'(x) = 2f(x) / $x^3$
ou f(x) est un polynome du quatrième degré

2a) Développer $x-1)(4x^2$ + x + 1 )
b) Etudier les variations de f sur ]0; + ∞[
3a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution alpha dans l'intervalle ]0; + ∞[
b) Donner un encadrement de alpha d'amplitude $10^{-2}$
4) Deduire de ce qui précède les variations de la fonction d et conclure
5) pour x= alpha on obtient le point $M_0$ de C le plus proche de A. Justifier que la tangente de C en $M_0$ est perpendiculaire à la droite $AM_0$ )

Malheureusement, je suis bloqué relativement tôt ..
Pour 1a) J'ai dit qu'il s'agit en fait d'écriture différente mais que la distance dans un repère orthonormé s'exprime par
AM² = $(x$ _m $x_a$ )² + $(y$ _m $y_a$ )² ⇔ AM= √ $(x$ _m $x_a$ )² + $(y$ _m $y_a$ )²

Pour 1b)
J'ai trouvé
d(x) = $x^4$ - $2x^3$ + 2x² + 2x + 1 ) / x²
Est-ce juste?

Enfin pour la 1)c), j'ai trouvé
d'(x) = 2 $x^4$ - x² - x) / $x^3$
Mais je pense qu'il a une erreur non ?

Merci d'avance pour votre aide, bonne soirée

Bonsoir,

Une erreur dans la dérivée, il manque le terme constant au numérateur.

Merci d'avoir répondu.
Cependant j'ai du mal à voir à mon erreur alors je vais vous écrire le calcul

d'(x) = $4x^3$ - 6x² + $4x^3$ + 2 ) ( x²) - $x^4$ - $2x^3$ + 2x² + 1 ) (2x)) / (x²)²

Ce qui donne:
d'(x) = $4x^5$ - $6x^4$ + $4x^3$ + 2x² - $2x^5$ + $2x^4$ - $4x^3$ - 4x² -2x) / $x^4$
d'(x)= $2x^5$ - $4x^4$ - 2x² - 2x ) $x^4$
d'(x)= $2x^4$ - $4x^4$ - 2x² - 2x
d'(x)= $2x^4$ - 2x² - 2x) / $x^3$
d'(x)= $2(-x^4$ - x² - x)) / $x^3$

Est ce que vous parvenez à déceler mon erreur ?

d'(x) = $4x^3$ - 6x² + 4x + 2 ) ( x²) - $x^4$ - $2x^3$ + 2x² + 2x + 1 ) (2x)) / (x²)²

Ce qui donne:
d'(x) = $4x^5$ - $6x^4$ + $4x^3$ + 2x² - $2x^5$ + $4x^4$ - $4x^3$ - 4x² -2x) / $x^4$
d'(x)= $2x^5$ - $2x^4$ - 2x² - 2x ) $x^4$
d'(x)= $2x^4$ - 2x³ - 2x-2) / $x^3$
= ....

Merci beaucoup j'ai vu où était mon erreur
Cela donne donc:
d'(x) = 2( $x^4$ - $x^3$ + x - 1) / $x^3$
C'est cela ?

C'est juste.

Super !
Pour la 2a) en développant je trouve
$4x^3$ - 3x² - 1
C'est juste également ? Mais en développant je ne suis pas censé trouver la dérivée de f(x) ?

Pour la 2b) je pense étudier les variations de la dérivée de f, ce raisonnement est-il le bon ?

Il manque un terme dans la dérivée :
d'(x) = $4x^3$ - 6x² + 4x + 2 ) ( x²) - $x^4$ - $2x^3$ + 2x² +2x + 1 ) (2x)) / (x²)²

Ce qui donne:
d'(x) = $4x^5$ - $6x^4$ + $4x^3$ + 2x² - $2x^5$ + $4x^4$ - $4x^3$ -4x² -2x) / x4
d'(x)= $2x^5$ - $2x^4$ - 2x² - 2x ) $x^4$
d'(x)= $2x^4$ - 2x³ - 2x - 2) / $x^3$
= $2(x^4$ - x³ - x - 1)/x³

Ah oui effectivement ! On avait oublié un terme !
Du coup c'est cohérent puisqu'en développant l'expression de la 2a) on trouve la dérivée de f
Pour la 2b il faut donc que j'étudie les variations de f'(x) ?
Pour cela j'étudie les variations de (x-1) et de ( 4x² + x + 1) ?

Oui étudie le signe de chaque membres.

J'ai trouvé les variations suivantes pour f(x)

f(0)= -1
Décroissante jusqu'à f(1)= -2
Puis croissante jusqu'a + ∞

Est ce juste ?

Je suis un peu bloquée pour trouver les variations de d
Il faut que je reparte de l'expression de sa dérivée ?
d(x)= 2(x4 - x³ - x - 1)/x³ ?

Les variations de f sont justes.
as tu trouvé la valeur de alpha ?

question 4, utilise les résultats des questions 2 et 3.

Oui alpha est compris entre 1,61 et 1,62 c'est ca ?

Pour la 4 il faut que je fasse le signe de 2(x4 - x³ - x - 1) et le signe de $x^3$ ? Ou c'est une mauvaise idée?

Oui pour alpha,

pour la question 4, tu déduis le signe de d' pour x compris entre 0 et alpha puis entre alpha et ∞.

Mais comment je fais pour faire ça ?
Je sais que entre 0 et alpha le signe est négatif et qu'il est positif entre alpha et +∞ , mais pour le justifier j'ai le droit de faire dans un même tableau

le signe de 2(x4 - x³ - x - 1)
le signe de $x^3$
le signe de d'(x)
le signe de d(x)

Parce qu'à vrai dire je ne vois pas comment faire autrement :rolling_eyes:

Pour le tableau de variation
la première ligne x 0 alpha + ∞

C'est ce que j'ai fais
Et ensuite les lignes suivantes sont celles que j'ai énoncé tout l'heure c'est juste ?

Oui, tu peux procéder par ces étapes.

Super, c'est ce que j'ai fais et je trouve bien
entre 0 et alpha le signe est négatif et positif entre alpha et +∞
J'ai ensuite dit que :
d admet un minimum f(alpha) atteint en alpha.
D'après l'encadrement de alpha, si on choisit alpha = 1,61 on trouve
d(1,61) ≈ 3 donc AM² ≈ 3 d'où AM = √3 ≈1,73
Donc la distance AM est minimal quand abscisse de M = alpha et vaut environ 1,73
Est t-il davantage rigoureux de dire que la distance minimale est :
AM= √d(alpha) ? au lieu de mettre tous les calculs précédents?

Si jamais les réponses de la 4 sont justes, je suis passé à la 5.

J'ai calculé l'équation de la tangente en C de $m_0$ et la tangente à la droite $AM_0$ )
J'ai trouvé pour la première
y = (-x + 2alpha)) / alpha ²
et pour la seconde:
y= ( alpha²-1)x -alpha²
Mon idée est de montrer que le produit de ces deux équations est nul pour pouvoir dire que ces deux droites sont perpendiculaires. Est ce correct ?

Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

Ah d' accord
Et est t'il possible de traiter cette question en se servant du produit scalaire ?

Oui,

Deux droites sont perpendiculaires si le produit scalaire de vecteurs directeurs de ces droites est ....

Est égal à 0 non ?
J'avais essayé quelque chose hier, mais je doute que ce soit le bon résultat parce que j'ai calculé l'équation de ces deux droites
Je trouve:
Equation de la tangente de C en $M_0$
y = (-x+2alpha) / alpha ²
Et équation de la droite $AM_0$ ):
y = (alpha²-1)x + alpha²
Mes calculs sont-ils justes?
Ce n'est pas la bonne méthode pour le prouver avec le produit scalaire n'est ce pas ?

Comment faut-il faire pour calculer le produit scalaire des deux vecteurs directeurs? :rolling_eyes:

C'est du cours
Si le plan est rapporté à un repère orthonormé
vect u(x;y) vect v(x'y')
le produit scalaire des vecteurs u et v : xx' + yy'

Merci j essaierai ça

Je ne vois pas comment trouver les coordonnées du vecteur de la tangente de C en $M_O$ :rolling_eyes:
L'équation de cette tangente ne me sert rien ?

Pour les coordonnées du vecteur de $AM_O$ ) j'ai trouvé:
abscisse: 1-alpha
Ordonnée: -1 - 1/alpha
est ce juste ?

pouvez vous m'aider pour prouver que AM et la tangente sont perpendiculaire, je bloque vraiment je ne comprend pas pourquoi alors que j'ai tout réussi