Déterminer les coordonnées de points et de vecteurs en 1ère S

Bonjour à tous,
J'ai un problème avec mon exercice de maths, j'espère que vous pourrez m'aider :S

ABC est un triangle
Le point E est tel que : Vecteur BE = 1/3 Vecteur BC

On se propose de déterminer les coordonnées du point M de (AB) tel que le milieu N de [CM] appartienne à (AE)

Faire une figure que vous compléterez
On se place dans le repère ( A ; Vecteur AB ; Vecteur AC ), déterminer les coordonnées des points A, B et C puis calculer les coordonnées du point E.
On suppose que le point M répond au problème.
a) Justifier l'existence des réels α et β tels que : Vecteur AM = α Vecteur AB et Vecteur AN = β Vecteur AE
b) En déduire les coordonnées des points M et N, en fonction de α et β dans le repère ( A ; Vecteur AB ; Vecteur AC )
Répondre le problème en résolvant un système d'équations d'inconnues α et β
(penser à vérifier que le point M convient).

Alors voilà j'ai réussit a faire les deux premières questions mais je ne sais pas comment m'y prendre pour la 3) =S
Quelqu'un pourrait il m'aider s'il vous plait ?? Merci d'avance.

Bonjour XxChipounexX,

Si le point M appartient à la droite (AB), vect AM = ....

Vecteur AM = Vecteur AB - Vecteur MB ?

Si le point M appartient à la droite (AB), AM = k AB
soit vect AM = α vect AB

Mais comment peut on calculer α et β ?

Ecris les coordonnées des points M et N.

M (Abscisse AB x α ; Ordonnée AB x α )

N ( Abscisse AE x β ; Ordonnée AE x β ) ?

Non

M (α ; 0) car vect AM = α vect AB + 0 vect AC
Pour le point N, écris vect AN en fonction de vect AB et vect AC.

Je ne vois pas comment écrire vecteur AN en fonction des vecteurs AB et AC car par la relation de chasles, vecteur AN = vecteur AC + Vecteur CN ou Vecteur AN = Vecteur AB + Vecteur BN ?

vect AN = β ect AE et vect AE = vect AB + vect BE,
avec vect BE = ..... (énoncé)

Ah d'accord donc
Vecteur AN = β Vecteur AE avec Vecteur AE = Vecteur AB + Vecteur BE
Donc
vecteur AN = β Vecteur AB + β 1/3 Vecteur BC
Avec Vecteur BC = Vecteur BA + Vecteur AC
vecteur BC = - Vecteur AB + Vecteur AC
Donc
Vecteur AN = β Vecteur AB + β1/3 x (-AB) + β 1/3 x vecteur AC ?

Oui,

Simplifie l'expression.

β ( vecteur AB - 1/3 vecteur AB) + β 1/3 vecteur AC ?

Simplifie et indique les coordonnées du point N.

Vecteur AN = β -2/3 vecteur AB +β 1/3 Vecteur AC
Donc N (β -2/3 ;β 1/3) ?

Attention à l'écriture :
N (β -2/3 ;β 1/3)

N (-2β/3 ;1β/3)

Excuse moi mais pourquoi met on le " β " après le -2 ?

Ce n'est pas une soustraction mais une multiplication.
Tu peux écrire :
β(-2/3)

Ah d'accord merci
Pour ma question 4, en connaissant les coordonnes de m et n je dois calculer le milieu de[CM] ?

Oui,

Tu écris un système que tu résous.

Donc,
On détermine le point N milieu de [CM] :
N ( (Xc + Xm)/2 ; (Yc + Ym) /2 )
En sachant que C (0;1) et M (α ; 0) et N (β (-2/3) ; β (1/3))
N ( (0+α)/2 ; (1+0)/2 )
Mais ça veut dire que (0+α)/2 = β(-2/3) et (1+0)/2 = β(1/3) ?

oui,

résous ce système.

Pour(1+0)/2 = β(1/3) :
β = (1/2)/(1/3)
β = 1,5 c'est ça ?

Mais comment fait on pour résoudre lorsque il y a deux inconnues ? Car on ne connais pas α et β pour (0+α)/2 = β(-2/3)

Tu connais β = 3/2

D'accord merci beaucoup pour tout en tout cas
Bonne continuation.