Développement décimal illimité

Bonjour voici un exercice que je n'arrive pas résoudre:

a) On se demande s'il existe un nombre rationnel x admettant pour écriture 2,45454545... où la séquence "45" se répète indéfiniment.
Expliquer pourquoi x peut être considérer comme la limite de la suite (Xn) définie par n≥1 par $xn=2+45100+451002+...+45100nxn=2+\frac{45}{100}+\frac{45}{100^2}+...+\frac{45}{100^n}$

b) Montrer que $xn=2+511(1−1100n)xn=2+\frac{5}{11}(1-\frac{1}{100^n})$ pour tout n≥1

c) En déduire que Xn tend vers un nombre rationnel x ( que l'on déterminera) lorsque n tend vers +∞.

Pour la a) j'ai commencé à calculer les premiers termes et à partir de cela comme la séquence 45 se répète indéfiniment et bien on peut pas connaitre sa limite. Alors on pose x comme limite de Xn.
Et là je bloque pour la b)

Bonsoir yoyo06,

Cherche dans Xn, une suite géométrique.

Xn est une suite géométrique de raison 45/100 ?
Si c'est ça du coup faudrait mettre 45/100 en facteur

Non

à partir du deuxième terme en mettant 45/100 en facteur on peut trouver la somme des termes d'une suite géométrique.

Je suis désolé mais je vois comment trouver

45/100(1 + 1/100 + 1/100² + ......)

Alors Xn=2+45/100(1+1/100^n)

Non,

Comment calcule t-on la somme des termes d'une suite géométrique ?
La formule ?

La formule c'est $s=up∗qp+1−1q−1s=up*\frac{q^{p+1}-1}{q-1}$

Utilise cette formule.

A qui correspond Up ?

Up c'est 45/100

Oui et q = ....

q=1/100^n

non
q est la raison q = 1/100

Combien y a t-il de terme ?

il y a n+1 terme
du coup on a $s=2+45100∗(1100n−11100−1)s=2+\frac{45}{100}*(\frac{\frac{1}{100^n}-1}{\frac{1}{100}-1})$

Pour la suite il y a n termes.

Simplifie l'expression que tu as indiquée.

C'est bon j'ai réussi puisque j'obtient S=Xn
Merci
Maintenant faut que je réfléchisse pour c)

Pour la question c), tu calcules la limite.

La limite de Xn c'est +∞.

Non

Si n tend vers ∞ ; $100^n$ tend vers ∞ et $1/100^n$ tend vers 0.

Ok merci beaucoup pour ton aide