Inéquations Logarithme

Bonjour, je bloque sur une inéquation

ln(-x^2 + x + 6) < 2ln(x-2)

Bonjour,

Modifie le membre de droite 2ln(x-2) pour le mettre sous la forme ln(...)
(en quelque sorte, comment "passer le 2 à l'intérieur du ln" ?)
Quelle est la fonction réciproque de ln ? Est-elle croissante ? On peut l'appliquer pour éliminer les ln.

Ce sont les grandes lignes, après il y aura des détails à régler sur les valeurs interdites en particulier.

après avoir éliminé les ln je trouve
-x²+x+6 < x² -4x-4

Domaine d'etude : ]-inf,-2[U]3,+inf[ ? si c'est bon je peux finir l'inéquation

-x²+x+6 < x² -4x-4 c'est ça.

Pour le domaine d'étude on doit avoir
-x²+x+6 > 0
et
x-2 > 0
Donc c'est beaucoup plus restreint que ]-inf,-2[U]3,+inf[

x1 = 5+V105/4 et x2 = 5-V105/4
Domaine d'etude : ]-inf,-2[U]-2,0[

-x²+x+6 > 0 car ici c x différent de -2 et 3
et
x-2 > 0 car ici c x différent de 2 ?

x1 = 5+V105/4 et x2 = 5-V105/4
Oui mais ça c'est pour la fin, et n'oublie pas qu'on résout
-2x²+5x+2 < 0
pas -2x²+5x+2 = 0

-x²+x+6 > 0 ce n'est pas quand x≠-2 et x≠3
Par exemple essaie x=5.

x-2 > 0 ce n'est pas quand x ≠ 2, essaie x=0

on prend juste x2 car c'est <0 ? pour le domaine d'étude je vois vraiment pas ?

Calculer des solutions puis en éliminer certaines c'est pour les équations.
Là on a des inéquations, on travaille sur des intervalles.

Domaine d'étude :
-x²+x+6 doit être > 0 pour que le log de gauche soit défini.

http://noombaz.fr/?q=-x^2+x+6 (dézoome un peu pour mieux voir) : pour quelles valeurs de x et-ce que -x²+x+6 > 0 (pas = 0 mais > 0)

x-2 doit être > 0 pour que le log de droite soit défini.
Pour quelles valeurs de x a-t-on x-2 > 0 ?

Solutions : quelle inéquation as-tu résolue ? Tu as une erreur de calcul dans x1 et x2. Mais ce qui te manque c'est : qu'est-ce que ça représente ce x1 et ce x2 ? Ce ne sont pas les solutions cherchées (même si on en a besoin !)

-x²+x+6 > 0 ]-2;3[ ?
x-2 > 0 ]2;+inf[ ?

donc domaine d'étude ]-2;2[U]3;+inf[ ?

oui j'ai pas fait exprès d'inverser x1 et x2 ce sont les résultats de -2x²+5x+2

x1 et x2 : c'est des √41 et pas des √105.

-x²+x+6 > 0 ]-2;3[ oui
x-2 > 0 ]2;+inf[ oui
donc domaine d'étude ]-2;2[U]3;+inf[ ? Non

Il faut avoir à la fois x∈]-2;3[ et x∈]2;+inf[ pour que les deux log soient définis.

]2;3[ ?
donc x1 5-V41/4 et x2 = 5+V41/4 ?

x∈]2 ; 3[ oui.
Il ne manque pas des parenthèses pour x1 et x2 ?
Ensuite il ne s'agit pas de rejeter x1 et garder x2, ou le contraire. C'est ce qu'on ferait pour résoudre une équation, mais là on a une inéquation.

x1 = (5-V41)/4 et x2 = (5+V41)/4 c'est bon alors car on rejète rien ?

x1 et x2 sont tous les deux dans ]2;3[ ?

seulement x2 mais je croyais qu'on rejetait pas ?

seulement x2 mais je croyais qu'on rejetait pas ?

Je n'ai pas dit qu'on ne rejetait rien, j'ai dit qu'il ne s'agissait pas que de x1 ou x2.
X1 et x2 sont les solutions de quoi ? Qu'est-ce que tu résous pour les trouver ?

Je ne vois vraiment pas x1 et x2 sont les solutions de -2x²+5x+2 = 0

Oui mais est-ce que la question c'est de résoudre -2x²+5x+2 = 0 ?
Est-ce que la question de départ c'est résoudre ln(-x^2 + x + 6) = 2ln(x-2) ?

Non il faut trouver S : ]2;(5+V41)/4U/4;3[ ?

Il faut résoudre ln(-x^2 + x + 6) < 2ln(x-2)
C'est équivalent à
-2x²+5x+2 < 0 ET x∈]2;3[
Or -2x²+5x+2 < 0 pour x∈]-∞;(5-√41)/4 ∪ /4;+∞[

Donc il faut prendre la partie de ]-∞;(5-√41)/4 ∪ /4;+∞[ qui est commune avec ]2;3[ (l'intersection, quoi)

Et là un dessin aide (beaucoup)

](5+√41)/4;+∞[ celle la ? car (5+√41)/4 équivaut a 2.8 ?

Dessine un axe gradué de -5 à 5.
Place dessus 2, 3, et des valeurs approchées de (5+√41)/4 et (5-√41)/4
Repasse en couleur pour ]2;3[
une autre couleur pour ]-∞;(5-√41)/4 ∪ /4;+∞[

Qu'est-ce qui est en commun ?

Là tu n'y arrives pas parce que sans dessin on ne peut pas avoir une bonne idée de ce qui se passe. Tu cherches absolument à avoir 2 solutions et à en éliminer une, ce n'est pas ça du tout. On a une infinité de solutions potentielles, on va en éliminer une infinité, et il va en rester une autre infinité (tout un intervalle).

Ah je vois mieu on a en aucun tout ceux qui se trouve entre 2 et (5+√41)/4

Ah on y est presque, mais ce n'est pas encore ça :razz:
Je pose $x_1$ = (5-√41)/4 ≈ -0,35
et $x_2$ = (5+√41)/4 ≈ 2,85
En vert les solutions potentielles (toutes les solutions de -2x²+5x+2 < 0)
(sur la partie noire on a -2x²+5x+2 > 0 et ça ne nous intéresse pas)
Avec un double trait ══════, le domaine d'étude ]2;3[

─────── $x_1$ ──────0────────────────2══════ $x_2$
═══3────────

S = ]-inf;x1[U]x2,3[ ?

]-inf;x1[ est dans le domaine d'étude ══════ ?

S = ]2;x2[U]x2,3[ je pense que c'est bon la xD

toujours pas :razz:
]2 ; x2[ est bien dans le domaine d'étude, mais est-ce que quand x∈]2;x2[ on a -2x²+5x+2 < 0 ?
(y a qu'à test...)

Il faut les x qui sont A LA FOIS dans le domaine d'étude (en trait double) ET tels que -2x²+5x+2 < 0 (en vert).

non erf car -2x²+5x+2 < 0 à partir de x=3
S : ]3;+inf[ ?

heu non -2x²+5x+2 < 0 pour x>x2, pas x>3
Et ]3;+∞[ n'est plus dans le domaine d'étude.

Il faut les x qui sont A LA FOIS dans le domaine d'étude (en trait double) ET tels que -2x²+5x+2 < 0 (en vert).
⇒ trait double et vert

Je crois la c'est bon ]x2;3[ ?

YESSS !!! ٩(^‿^)۶

Et tu peux vérifier ce résultat en traçant la courbe
ln(-x^2 + x + 6) - 2ln(x-2)
par exemple http://noombaz.fr/?q=ln(-x^2+x+6)-2ln(x-2)

et en regardant où est-ce qu'on a ln(-x^2 + x + 6) - 2ln(x-2) < 0
C'est magique : entre x2 et 3