DM sur un problème de Synthèse : Les fonctions

Bonjour,

J'ai actuellement un exercice que j'ai du mal a faire, le voici :

On considère la fonction f définie pour x1 par :
f(x) = (x2-x+2)/(x-1)
On note H la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère (O;I,J).
Soit g la fonction définie par g(x) = x et D sa représentation graphique.

A l'aide de la calculatrice, représenter graphiquement la fonction f.
Déterminer le réel a tel que f(x) = x + (a/(x-1)) pour tout réel x différent de 1.
a) Comparez f(x) et g(x) selon les valeurs de x.
b) En déduire la position de H par rapport a D.
Soit m un nombre quelconque.
Pour chaque valeur de m, on considère la fonction affine hm définie par :
hm(x) = mx-m+1
On note m sa représentation graphique.
a) Quelle est la représentation graphique de h1 ?
b) Vérifier que A(1;1) est un point de delta m pour tout m.
c) Montrer que chercher les points communs de H et de delta m revient à résoudre l'équation (E) : (1-m)x2+2(m-1)x+3-m = 0
d) Pour m=1, donner le nombre de solutions de l'équation (E). En donner une interprétation graphique.
e) On suppose m1, donner le nombre de solutions de cette équation selon les valeurs de m. Donner une interprétation graphique.
A l'aide du logiciel, représenter graphiquement la fonction hm. Vérifier les réponses obtenues aux questions précédentes.

Voila ce que j'ai fait :

(x) + (a)/(x-1) = (x^2 - x + a)/(x-1)
(x^2 - x + a) / (x-1) = (x^2 - x + 2) / (x-1) <--> a = 2

a) f(x)= (x+2)/(x-1) donc f(x)-g(x) = 2/(x-1). Donc :

f(x) - g(x) < 0 si x<1
f(x) - g(x) > 0 si x>1

b) H est au dessous de D sur ]-oo ; 1[
H est au dessus de D sur ]1 ; +oo[

3)a) hm(x) = mx - m + 1
h1(x) = 1*x - 1 + 1
= x

h1 est une fonction affine qui passe donc par l'origine du repère. De plus, sa représentation graphique correspond à la droite D.

b) je ne comprend pas

Merci de bien vouloir m'aider et me dire si j'ai fait des erreurs

Bonsoir aprer,

Le début est juste.
b) Calcule hm(1) = ...
c) résoudre f(x) = hm(x)
d) résoudre l'équation du second degré

Merci,

Donc pour la c) , j'arrive jusqu'à obtenir ceci : x² - mx² + 2mx - 2x - m + 3 = 0

Mais après que dois-je faire ?

Si tu factorises, tu arrives à l'équation E.

d) Tu remplaces m par 1 et tu résous l'équation.
e) Tu résous l'équation pour m différent de 1.

Merci beaucoup, et donc pour la c) , je n'ai plus rien à faire je dis juste que si on factorise on retombe sur (E) ?

J'éssaye de faire la d) et la e)

Oui pour la question c), tu factorises pour retrouver l'équation E.

Mais la forme factorisée est déjà donnée non ?

Et aussi, on a le droit d'enlever le dénominateur qui était (x-1) ?

Donc , pour la d) je suis arrivé à :

x²+2x+2=0

Que dois-je faire ensuite ?

J'ai même résout Delta :

Delta = 4-8
= -4

Delta < 0 Donc l'équation n'a pas de solution et donc (E) n'a pas de solution.

Et l'interprétation graphique c'est que Delta(m) ne coupe pas H ?

Oui il suffit d'écrire la forme factorisée avec le dénominateur puis de préciser qu'un rapport est nul si son dénominateur est non nul et son numérateur nul.

Si m = 1, l'équation devient 2 = 0, donc ......

Noemi
Oui il suffit d'écrire la forme factorisée avec le dénominateur puis de préciser qu'un rapport est nul si son dénominateur est non nul et son numérateur nul.
ça c'est bien pour le c) ?

Noemi
Si m = 1, l'équation devient 2 = 0, donc ......
ça c'est pour quel question ?

Et la d) c'est correct ?

Merci pour votre aide

aprer
Noemi
Oui il suffit d'écrire la forme factorisée avec le dénominateur puis de préciser qu'un rapport est nul si son dénominateur est non nul et son numérateur nul.
ça c'est bien pour le c) ?

Oui la question c)

aprer
Noemi
Si m = 1, l'équation devient 2 = 0, donc ......
ça c'est pour quel question ?

La question d)

aprer
Et la d) c'est correct ?

Non

Donc la d) :

Ah oui, j'avais mal calculé, si m = 1, (E) devient 2 = 0 . Je dois calculé Delta ensuite ?

Non pas de calcul de delta mais analyse de l'équation 2= 0 !!

Cela signifie que le point (1;0) appartient à (E) ?

Ah non , 2 n'est pas égal à 0 donc c'est impossible donc Delta(m) ne coupe pas H ?

Si m = 1, hm(x) = x et l'équation n'a pas de solution, donc pas de point d'intersection.

Ok merci,

Pour la e), je dois faire plusieurs cas ? avec m>1 , m<1 et m=0 ?

Calcule delta et étudie le nombre de solution suivant le signe de delta.

Noemi
Calcule delta et étudie le nombre de solution suivant le signe de delta.

Il faut calculer le delta de quelle équation ?

De l'équation (E).

Merci , j'ai fais : (1-m)x²+2(m-1)x+3-m = 0
a= (1-m) b= 2(m-1) c= 3-m

donc : b² - 4ac
(2(m-1))² - 4(1-m)(3-m)
4m²+4 - 4(1-m)(3-m)
4m²+4 - (4-4m)(3-m)
4m²+4 - (7-4m -7m+4m²)
4m²+4 -7 + 4m + 7m - 4m²
11m-3

C'est cela ?

En fait, j'ai refais et je trouve ça :
(1-m)x²+2(m-1)x+3-m = 0 qui peut s'écrire (1-m)x^2-2(1-m)x+3-m=0

donc

delta=[-2(1-m)]^2-4(1-m)(3-m) = 4(1-m)^2-4(1-m)(3-m) = 4(1-m)[1-m-(3-m)] = 4(1-m)*(-2)=8(m-1)

Que faut-il faire ensuite ?

Ensuite j'ais fait ceci:

3 cas
8m - 8 < 0 ; soit m < 1
8m - 8 = 0 ; soit m = 1
et
8m - 8 > 0 ; soit m > 1

(E) a donc 2 solutions car quand 8m-m est négatif , il n'a pas de solutions . Quand 8m-8 = 0 il ya une solution mais comme m=1 , il n'ya pas des solution car m doit etre différent de 1. Enfin, quand 8m-8 est positif, il ya 2 solutions.

Il ya donc en tout 2 solutions .

C'est cela ?

Oui,

Deux solutions si m > 1.

je confirme.

En phrase de conclusion je dis donc : (E) a 2 solutions quand m > 1 et que (E) n'a pas de solution quand m < 1 (ou égal) ?

Et je ne dois pas donner les solution non ?

C'est correct.

Ecris les solutions.

Pour trouver les solutions je dois prendre un nombre au hasard plus grand que 1 et remplacer dans (E) ?

Non, utilise les formules et remplace chaque termes.

Ok merci mais dans la consigne on ne demande pas les solutions non ?

Exact, dans l'énoncé il n'est pas indiqué d'écrire les solutions.