Réaliser des calculs intégrals

Bonjour,

Je dois calculer Io et I1 tel que

In= (cos $t)^n$ dt avec b= pi/2 a=0.

Je trouve pour Io= (cos $t)^0$ dt = [sin $t]^0$ =1
Pour I1=(cos $t)^1$ dt= [sint $t]^1$ =1

Est ce bon ?

Je dois ensite montrer que In est décroissante, je fais In+1-In ?

Merci d'avance.

Bonjour,

Pour $I_0$ (si les bornes de l’intégrale sont bien 0 et pi/2), je trouve $I_0$ = pi/2 (en effet (cos $t)^0$ = 1).
Pour le sens de variations, calculer $I_{n+1}$ - $I_n$ peut être une bonne approche (je vérifie et je reviens ...).

Cordialement.

Bonjour,

je comprends mal ta démarche.

$\text{i_0=\bigint_0^{\frac{\pi}{2}}(cost)^0dt=\bigint_0^{\frac{\pi}{2}}1dt=[t]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}$

$i_1=1$ : c'est bon , à condition que ta méthode soit juste...

Pour montrer que (In) est décroissante , ton idée est bonne.

Pour I1 j'ai fait sin pi/2-sin0 =1.

donc après je fais (cos $t)^{n+1}$ dt - (cos $t)^n$ mais je suis bloqué

(cos $t)^{n+1}$ - (cos $t)^n$ = (cos $t)^n$ (cos t - 1). Sur [0;pi/2], (cos t) > 0 donc (cos $t)^n$ > 0 et (cos t - 1) ≤ 0. Donc, au final, (cos $t)^n$ (cos t - 1) ≤ 0 et il en va de même pour l’intégrale.

Bonjour,
Le sujet est traité sur Wikipedia : intégrales de Wallis.
Bonne lecture.

Wikipedia : bonne idée , Mathtous .

Remarque : une petite modification ( pour la réponse de homeya , mais qui ne change pas le résultat) :
Sur [0;pi/2] , (cos t) ≥ 0 donc (cos $t)^{n }$ ≥ 0

maintenant je dois montrer que (n+2)In+2=(n+1)In j'ai comme indication que (cos $t)^{n+2}$ =cos t(cos $t)^{n+1}$

jai pas réussi à voir comment faire

On peut faire le calcul suivant:
$$
= $$
= (n+1) $$ par une intégration par parties que je te laisse détailler
Donc $I_{n+2}$
= (n+1) $$
= (n+1) $$
= (n+1) $$ - (n+1)$$ par linéarité de l’intégrale
= $n+1)I_n$ - $n+1)I_{n+2}$
Et je te laisse le soin de finir le calcul ...

$u(x)=cos(t)^{n+1}$ u' $x)=-(n+1)sin(x)*cos^n$ (x)
v'(x)=cos t v(x)=sin t

pour l'intégration par partie

Oui, c'est cela (avec des "t" partout). Très bien !

ok, donc ca me fait $c o s (p i / 2)$ ^{n+1} $sin(pi/2)-cos(0)^{n+1}$ sin(0)

Oui, pour la partie [uv], qui se simplifie beaucoup ! Il faudra rajouter la seconde partie ($$).

ca vaut 0 ? ensuite je fais sin²t=1-co²(t)?

Oui !

je suis arrivé à In+2= (n+1)In - (n+1)In+2 mais il faut que je prouve que (n+2)In+2=(n+1)In

Que se passe-t-il en mettant le $n+1)I_{n+2}$ de droite à gauche ?

je ne vois pas

C'est presque le plus facile !
$I_{n+2}$ = $n+1)I_n$ - $n+1)I_{n+2}$
$I_{n+2}$ + $n+1)I_{n+2}$ = $n+1)I_n$
$n+2)I_{n+2}$ = $n+1)I_n$

merci^^

je dois maintenant en déduire que ma suite Un=nInIn-1 est constante et trouver la valeur de Un

Voici un début de piste:
$u_{n+2}$ - $u_{n+1}$
= $(n + 2) I$ {n+2} $I{n+1}$ - $(n + 1) I$ {n+1} $I_n$
= $I{n+1}$ [...]

=In+1(n+1)In-(n+1)In+1In
=InIn

$I$ _{n+1} $(n + 1) I$ n $- (n + 1) I$ {n+1} $I_n$

J'ai du mal à te suivre (où est passé le $I_{n+2}$ ?). Si on reprend:
$u_{n+2}$ - $u_{n+1}$
= $(n + 2) I$ {n+2} $I{n+1}$ - $(n + 1) I$ {n+1} $I_n$
= $I{n+1}$ $n+2)I_{n+2}$ - $n+1)I_n$ ]
= 0 car $n+2)I_{n+2}$ = $n+1)I_n$
Pour la valeur de $u_n$ , puisque la suite est constante, on prendre une valeur particulière intelligemment choisie: $u_n$ = $u_1$ = 1× $I$ _1 $I_0$ = ...

ok, donc là j'ai $U_n$ =pi/2

maintenant je dois en utilisant la décroissance de $I_n$ montrer que 1< $I_{n-1}$ /In<=n/n-1.

pouvez vous m'aider ?

Puisque $I_n$ est décroissante, on peut écrire: $I_n$ ≤ $I_{n-1}$ soit encore, sachant que $I_n$ ≥ 0 (car $cos^n$ t ≥ 0 sur [0;π/2]), $I$ {n-1} $I_n$ ≥ 1 ce qui montre la première partie de l’inégalité.
Ensuite, pour la seconde partie, on sait que $I{n-1}$ ≤ $I_{n-2}$ (par décroissance de la suite) donc $I$ {n-1} $I_n$ ≤ $I$ {n-2} $I_n$ (car $I_n$ > 0). Or, $n+2)I_{n+2}$ = $n+1)I_n$ ou encore $nI_n$ = (n $1)I_{n-2}$ (en changeant le rang) soit $I$ {n-2} $I_n$ = n/(n-1). Par conséquent: $I$ {n-1} $I_n$ ≤ n/(n-1).

Merci beaucoup pour votre aide.

De rien. Bonne continuation