Démontrer des formules trigonométriques

Bonjour, j'ai un problème avec un exercice de maths que je ne comprends pas du tout. Voici l'énoncé et ce que j'ai tenté de faire:

Dans le plan orienté muni d'un repère orthonormé direct (O; $i⃗;j⃗\vec{i} ; \vec{j}$ ), C est un cercle de centre O et de rayon R.
Le point A est un point de l'axe des abscisses et le point B un point de C tel que OABC soit un rectangle.
Périmètre OABC=14

En utilisant la formule cos(a-b)= cos(a) x cos(b) + sin(a) x sin(b), démontrer que pour tout nombre réel X, on a:
$sin⁡x+cos⁡x=2cos⁡(x−π4)\sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos (x-\frac{\pi }{4})$

J'ai fait: $sin⁡(x)+cos⁡(x)=2cos⁡(x)×2cos⁡(−π4)+2sin⁡(x)×2sin⁡(−π4)\sin (x)+\cos (x)= \sqrt{2}\cos (x)\times \sqrt{2}\cos (-\frac{\pi }{4})+\sqrt{2}\sin (x)\times \sqrt{2}\sin (-\frac{\pi }{4})$

$=2cos⁡(x)×2×22+2sin⁡(x)×2×22=\sqrt{2}\cos (x)\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\sin (x)\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}$
donc:
$sin⁡(x)+cos⁡(x)=2cos⁡(x)+2sin⁡(x)\sin (x)+\cos (x)=\sqrt{2}\cos (x)+\sqrt{2}\sin (x)$

notons X mesure de l'angle $(i⃗,ob⃗)(\vec{i} ,\vec{ob} )$ .
a) Montrer que le périmètre du rectangle OABC est égal à $[sin⁡(x)+cos⁡(x)]×2r[\sin (x)+\cos (x)]\times 2r$ .

Il y a encore beaucoup de parties à l'exercice mais peut-être que si je comprends comment faire, je pourrais faire la suite seule. Merci d'avance.

Bonjour,

Ce que tu écris à la question 2 est très bizarre car tu aboutis à une égalité fausse...

Je t'indique la marche à suivre.

Utilise la formule de cos(a-b)

$cos⁡(x−π4)=cos⁡xcos⁡π4+sin⁡xsin⁡π4\cos(x-\frac{\pi}{4})=\cos x\cos \frac{\pi}{4}+\sin x\sin \frac{\pi}{4}$

Après transformation :
$cos⁡(x−π4)=22(cos⁡x+sin⁡x)\cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt 2}{2}(\cos x+\sin x)$

En multipliant par √2
$2cos⁡(x−π4)=2(22)(cos⁡x+sin⁡x)\sqrt 2\cos(x-\frac{\pi}{4})=\sqrt 2(\frac{\sqrt 2}{2})(\cos x+\sin x)$

Après calcul :
$2(22)=1\sqrt 2(\frac{\sqrt 2}{2})=1$ , d'où l'égalité voulue.

Piste pour la 3) ( tu as oublié de préciser que A est à l'intérieur du cercle )

$oa=rcos⁡xoa=r\cos x$

$\sin x$

Le périmètre vaut 2OA+2AB = ...

Merci pour la piste, je pense que j'ai trouvé. Ça donnerai : $2r\cos (x)+2r\sin (x)$
donc: Poabc= $2r[sin⁡(x)+cos⁡(x)]2r[\sin (x)+\cos (x)]$

Mais pour la suite ...
b) Montrer que si le point B se trouve dans le premier quadrant du plan, ce périmètre est maximal lorsque $cos⁡(x−π4)\cos (x-\frac{\pi }{4})$ est maximal.

B a pour abscisse $cos⁡(x−π4)\cos (x-\frac{\pi }{4})$ ?

Non . B a pour abscisse Rcosx ( et pour ordonnée Rsinx )

Fais un raisonnement logique

R étant une constante , le périmètre est maximal si et seulement si [sin (x)+cos (x)] est maximal

Or tu sais que $sin⁡x+cos⁡x=2cos⁡(x−π4)\sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos (x-\frac{\pi }{4})$

donc.............................

Donc pour que le périmètre soit maximal, il faut que $sin⁡(x)+cos⁡(x)=2cos⁡(x−π4)\sin (x)+\cos (x)=\sqrt{2}\cos (x-\frac{\pi }{4})$ soit maximal. Mais comment je peux le démontrer ? Je fais varier $x$ ?

Raisonne , tout simplement .

Le périmètre est maximum pour cosx+sinx maximal , c'est à dire pour $2cos⁡(x−π4)\sqrt{2}\cos (x-\frac{\pi }{4})$ maximal.

Comme √2 est une constante , c'est $cos⁡(x−π4)\cos (x-\frac{\pi }{4})$ qui sera maximal .

Donc il faut que x soit ≥ à $π4\frac{\pi }{4}$

Non...

Mais relis la question que tu as posé !
Citation
Montrer que si le point B se trouve dans le premier quadrant du plan, ce périmètre est maximal lorsque $cos⁡(x−π4)\cos (x-\frac{\pi }{4})$ est maximal

cette question est donc résolue.

Ah oui ! Ah je n'avais pas compris ça comme ça. Merci !

Donc pour la question suivante qui est :
c) Dans le premier quadrant du plan, déterminer le(s) point(s) du cercle C qui rendent le périmètre du rectangle OABC maximal.

c'est B qui rend le périmètre maximal

Ta réponse " B qui rend le périmètre maximal" n'a pas de sens vu que B est variable !

Pour connaître le(s) point(s) du cercle C qui rendent le périmètre du rectangle OABC maximal , étudie les variations de la fonction x-> $cos⁡(x−π4)\cos(x-\frac{\pi}{4})$ pour x variant entre 0 et ∏/2

Je l'ai fait à l'aide du tableur de ma calculatrice, et la valeur la plus haute est pour x=0.8

Ta calculatrice ne peut te donner qu'une valeur approchée ( qui est assez bonne ) mais il te faut une demondtration mathématique et tu trouveras la valeur exacte.

Comme je te l'ai déjà dit , étudie les variations de la fonction f définie par :

f(x)=cos(x-∏/4) sur [0,∏/2]

( dérivée , signe de la dérivée , tableau de variation )

Je n'ai jamais fait de dérivées avec cos et avec π non plus. Je ne sais pas comment faire ...

Peut-être connais tu un peu la fonction cosinus ( voir cours ) : c'est une fonction de référence.

Sur [0 , ∏/2] , la fonction cosinus est décroissante de 1 à 0

La maximum est donc lorsque x-∏/4=0 c'est à dire lorsque x=∏/4

Je ne connais pas du tout la fonction cosinus; mais le maximum est donc quand x≈0.78

0.78 n'est qu'une valeur approchée .

La valeur exacte est $π4\frac{\pi}{4}$

d'accord merci beaucoup pour votre aide, bonne soirée

De rien , et revois bien tout cela .