Développer une puissance à l'aide du binôme de Newton

Bonjour, je bloque sur cet exo j'aurais besoin de votre aide Merci.

on a (a+b)^n = (a+b)x...x(a+b) n fois
après développement on obtient des termes de la forme a^l * b^k, l et k représente le nombre de fois ou on a distribué a et b.

1/ Montrer que n = k + l et que les termes obtenus après développement sont de la forme a^(n-k) * b^k
2/ Peut on choisir de façon différente le réel b, k fois parmi les n expréssion de (a+b) mutiplié ?
3/ Conclure

Bonjour Ziatan18,

As tu essayé une démonstration par récurrence ?

partir de (a+b)^n pour obtenir n = k + l ? sa me paraissait compliqué non ? ^^

Oui,

Vérifie pour n = 2 et 3.

sa fait (a+b)^2 = a²+2ab+b² ?

Vérifie la relation n = k + l

bah je vois pas trop, car je sais pas d'ou sort le k et le l ?

k est l'exposant de a et l celui de b (ou l'inverse)

T'aurais pas une piste pour vérifié n = k+l ?

quand tu écris (a+b)² = a² + 2ab + b²
cela peut s'écrire a² $b^0$ +2ab + $a^0$ b²

k exposant de a et l exposant de b
a² $b^0$ donne k = 2 et l = 0, soit 2+0 = 2 = n
2ab donne k = 1 et l = 1, soit 1+1 = 2 = n
$a^0$ b² donne k = 0 et l = 2, soit 0+2 = 2

ah oui ! pas mal maintenant je fais pour n+1 ?

oui,

Tu supposes la relation vraie pour n et tu démontres pour n+1

(a+b)^n+1 = (a+b)^n * (a+b) = a^n + na^(n-1)x + nab^(n-1) + b^n ?

Bonjour,

En attendant que Noemi soit là , tu peux jeter un coup d'oeil à la démonstration par récurrence faite ici :

http://www.math-info.univ-paris5.fr/~avner/MC1/L1_S1/cours/eq/node11.html

Bien sûr , faut-il que les notations te conviennent !

Quel est le développement de $a+b)^n$ ?

a^n + na^(n-1)x + nab^(n-1) + b^n ? je me suis inspié de (a+b)^3

Il manque des termes,
tu as n+1 termes.

a^n + na^(n-1)b + nab^(n-1)+ ... + b^n ?

Les coefficients et les exposants sont à rectifier.

a^(n+1) + (n+1)*a^(n)*b + (n+1)ab^(n)+ ... + b^(n+1) ?

C'est $a+b)^n$ qu'il faut écrire, le coefficient n'est pas toujours n.

Je vois pas trop ^^

Connais tu les combinaisons ?

Non, je pense pas l'avoir vu

Bonjour,

En attendant que Noemi soit là,

D'après ce que tu dis , tu sembles ne pas connaître pas la formule du binome ( tu dois la découvrir - donc pas de récurrence pour la démonstration -) , ni les combinaisons...
En ce qui concerne les combinaisons , tu ne sais peut-être pas ce terme , mais tu l'as vu forcément ...sinon , ton professeur ne te demanderait pas de faire cet exercice...

Pour k ≤ n , $(nk){{n}\choose {k}}$ est le nombre de façons de choisir k éléments parmi n ( ou si tu préfères , le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments ) ( c'est cela le nombre de combinaisons... )

La méthode que tu cherches semble être ici ( Prends "Variantes de la démonstration ") et change les notations )

[ http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_binôme_de_Newton](http:// http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_binôme_de_Newton " http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_binôme_de_Newton")

pour n = k + l,
on sait que d'après l'énoncé a^l * b^k puis d'après l'énoncé de la question 1/
a^n-k * b^k,
donc avec l = n-k,
k + (n-k) = n ? donc c'est bon non ?

Ton calcul sur les exposants est juste

Merci ^^ donc j'ai bon pour le l+k=n donc maintenant il me reste la deuxieme partie de la 1/ t'aurais une idée je vois pas a part si il faut devellopé

C'est un raisonnement logique ( expliqué dans le document de Wikipédia que je t'ai indiqué )

Si tu comprends cette écriture , il y a $(nk){{n}\choose{k}}$ façons de choisir b

D'où , au final :

la formule peut s'écrire

$\text{(a+b)^n=\bigsum_{k=0}^{k=n}{{n}\choose{k}}a^{n-k}b^k$

Je recopie la démo ? réccurence

Non...

Visiblement , l faut que tu expliques le raisonnement logique qui permet de tirer la conclusion sur la formule sans récurrence.